Współczynniki dwumianowe

[Martino19]

Witam, mam za zadanie wyznaczyć \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1) ^{k} {n \choose k} ^{2}}\).
Wskazówką do zadania jest, by skorzystać ze wzoru:\(\displaystyle{ (1-x ^{2}) ^{n}=(1-x) ^{n} (1+x) ^{n}}\).
I moje rozwiązanie to(nie wiem czy dobrze myślę):
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1) ^{k} {n \choose k} ^{2}=\sum_{k=0}^{n}(-1) ^{k}(1) ^{n-k} {n \choose k} {n \choose k} (1) ^{k}(1) ^{n-k}=(1-1) ^{n} *(1+1) ^{n}=0.}\)
I moje pytanie brzmi czy dobrze to zrobiłem?

[Janusz Tracz]

Niekoniecznie dla każdego \(\displaystyle{ n}\) będzie tak jak mówisz (zawsze możesz sprawdzić podstawiając jakąś wartość polecam parzystą...). To przejście które robisz jest niepokojące. Zauważ też że wyrażanie \(\displaystyle{ (1-x^2)^n}\) jest parzyste więc w jego rozwinięciu znajdą się jedynie parzyste potęgi.

[Martino19]

Faktycznie moje rozumowanie jest błędne, natomiast nie wiem jak teraz się za to zabrać.
Na razie rozpisałem:\(\displaystyle{ (1-x ^{2} ) ^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-x ^{2}) ^{k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1) ^{k} x ^{2k}}\)
oraz:\(\displaystyle{ (1-x) ^{n} (1+x) ^{n} = (\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-x) ^{k} ) (\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (x) ^{k} )}\)

[Premislav]

Zobacz

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/2207863/proving-a-binomial-summation-with-induction-sum-k-0n-1k-binom-nk2/2208164#2208164

[Martino19]

Niestety, ale dalej tak średnio potrafię to zrozumieć.

[Premislav]

Patrzymy na tożsamość
\(\displaystyle{ (1-x^2)^n=(1-x)^n(1+x)^n}\) (jest ona oczywista, natomiast nie tak łatwo wpaść na jej zastosowanie) jak na równość wielomianów.
Porównamy współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) w obu wielomianach. Oczywiście ze wzoru dwumianowego Newtona mamy
\(\displaystyle{ (1-x^2)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^k x^{2k}}\), zatem w tym wielomianie współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) jest równy
\(\displaystyle{ (-1)^{\frac n 2}{n \choose \frac n 2}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, zaś zero gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste (zauważ, że z niezerowymi współczynnikami występują tu tylko jednomiany z parzystymi wykładnikami).
Natomiast w tożsamym z nim wielomianie \(\displaystyle{ (1-x)^n(1+x)^n}\) współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\) wynosi
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}{n\choose n-k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}^2}\), ponieważ
\(\displaystyle{ (1-x)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^k x^k}\) oraz
\(\displaystyle{ (1+x)^n= \sum_{i=0}^{n} {n \choose i}x^i}\).
Po wymnożeniu n-tą potęgę \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy z takich \(\displaystyle{ k, i \in \left\{ 0,1,2\ldots n\right\}}\), że \(\displaystyle{ k+i=n}\), czyli \(\displaystyle{ i=n-k}\).
Stąd ten współczynnik \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}{n\choose n-k}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k}^2}\)
Pomysł jest piękny, kiedyś dawno temu (bez tej wskazówki) przez cztery godziny próbowałem inaczej zrobić to zadanie i mi nie wyszło, smuteczeg.

BTW Polecam Stockhausena, moje nowe odkrycie muzyczne.