Oszacowanie Gaussa czy Eulera?

[piotr159]

Witam,
Mam wzór:
\(\displaystyle{ n^{ \frac{n}{2} } \le n! \le \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n}}\)
Moje pytanie brzmi skąd jest ten wzór? Szukałem w internecie i znalazłem że jest to oszacowanie Eulera lub oszacowanie Gaussa lecz nigdzie nie umiem znaleźć typowej definicji i dowodu tego.

[Premislav]

Czym jest tutaj \(\displaystyle{ k}\)?

Nie miało być tak:
\(\displaystyle{ n^{ \frac{n}{2} } \le n! \le \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n}}\)

[piotr159]

Tak, mój błąd, przepraszam. Miało być oczywiście n.

[Tmkk]

Nie wiem jak te oszacowania się nazywają, ale mogę pomoc w dowodzie dając wskazówki.

Pierwsza nierówność podniesimy do kwadratu i zaczynamy od lekkiego przekształcenia produktu

\(\displaystyle{ n^n \le (n!)^2 = \prod_{k=1}^{n} k\cdot k = \prod_{k=1}^{n} k \cdot (n-k+1)}\)

Druga nierówność: podnieś stronami do potęgi \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) i spróbuj użyć nierówności miedzy średnimi.

[Premislav]

Tak właściwie to zapisanie
\(\displaystyle{ (n!)^2= \prod_{k=1}^{n} k \cdot (n-k+1)}\)
pozwala udowodnić też tę drugą nierówność, korzystając ze słabszego narzędzia niż nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (choć warto ją znać), wystarczy bowiem udowodnić, że
\(\displaystyle{ k(n-k+1)\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^2}\), co się sprowadza po prostych przekształceniach do
nieujemności pewnego kwadratu różnicy, a następnie wymnożyć \(\displaystyle{ n}\) takich nierówności dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n}\) (oczywiście wówczas każdy czynnik postaci \(\displaystyle{ k(n-k+1)}\) jest dodatni).
Acz można powiedzieć, że to też jest skorzystanie z nierówności między średnimi, tylko że \(\displaystyle{ n}\) razy dla dwóch zmiennych, a nie raz dla \(\displaystyle{ n}\) zmiennych.

[Tmkk]

A, rzeczywiście, słuszna uwaga : )

[Janusz Tracz]

A z drugiej strony mamy ogólniejszą nierówność. Dla dodatniego ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ \left\{ a_n\right\}_{n\in\NN}}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \sqrt{a_1a_n} \le \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} \le \frac{a_1+a_n}{2}}\)

kładąc \(\displaystyle{ a_n=n}\) i podnosząc stronami nierówność do \(\displaystyle{ n}\) dostajemy tezę. Dowód tej ogólniejszej nierówności można przeprowadzić indukcyjnie (szczególnie lewej części, prawa to nierówność między średnimi).

[Premislav]

No, faktycznie, dobre spostrzeżenie, kiedyś już pojawiło się na forum takie zadanie.
Nierówność \(\displaystyle{ \sqrt{a_1a_n} \le \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}}\) można też udowodnić bez indukcji (ostatnio się obraziłem na indukcję, jak musiałem coś udowadniać przez indukcję pozaskończoną i nie najlepiej mi to wyszło):
podnosimy nierówność stronami do potęgi \(\displaystyle{ 2n}\), co jest przekształceniem równoważnym, gdyż obie strony nierówności są dodatnie, otrzymując postać \(\displaystyle{ (a_1a_n)^n\le (a_1a_2\ldots a_n)^2}\) i zauważamy, że zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ a_k a_{n-k+1}\ge a_1 a_n \ (*)}\)
dla \(\displaystyle{ k=1\ldots n}\).
Odnotujmy bowiem, że im większa jest różnica między dodatnimi liczbami \(\displaystyle{ x,y}\) o ustalonej sumie \(\displaystyle{ a}\), tym mniejszą wartość ma iloczyn \(\displaystyle{ xy}\), tj. w dodatnich \(\displaystyle{ xy>(x-\epsilon)(y+\epsilon)}\) dla \(\displaystyle{ 0<\epsilon <\min\left\{ x,y\right\}}\) i \(\displaystyle{ x+y=a.}\)
Natomiast zachodzi równość \(\displaystyle{ a_k+a_{n-k+1}=(a_1+(k-1)r)+(a_n-(k-1)r)=a_1+a_n}\),
gdzie \(\displaystyle{ r}\) to różnica w ciągu arytmetycznym \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\).

Mnożymy stronami nierówności \(\displaystyle{ (*)}\) dla \(\displaystyle{ k=1\ldots n}\) i otrzymujemy
\(\displaystyle{ (a_1a_n)^n\le \left( a_1 a_2\ldots a_n\right) ^2}\),
c.k.d.

-- 16 maja 2018, o 20:42 --

Ech, trochę źle to zapisałem symbolami, bo się spieszyłem, ale w każdym razie to jest prawda:

im większa jest różnica między dodatnimi liczbami \(\displaystyle{ x,y}\) o ustalonej sumie \(\displaystyle{ a}\), tym mniejszą wartość ma iloczyn \(\displaystyle{ xy}\)

Trzeba by to rozpisać bardziej na minimach i maksimach albo założyć bez zmniejszenia ogólności np. \(\displaystyle{ x>y}\) (zarówno wyrażenie \(\displaystyle{ x+y}\), jak i \(\displaystyle{ xy}\) zależy symetrycznie od \(\displaystyle{ x,y}\)).
A w ogóle za dużo tu zamieszania w moim poście, niech ta ustalona suma czynników to \(\displaystyle{ 2a}\), wówczas iloczyn równy jest \(\displaystyle{ (a-d)(a+d)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ d\in \RR}\) spełniającego \(\displaystyle{ 0<d<a}\), tak dużo prościej.