Rozbicie tezy zadania (zasada szufladkowa)

[SkitsVicious]

Witam, czy przy zadaniu:
Niech \(\displaystyle{ n \ge 2}\) będzie liczbą całkowitą. Wykaż, że spośród dowolnych \(\displaystyle{ (n-1) ^{2} + 1}\) liczb całkowitych niepodzielnych przez \(\displaystyle{ n}\) można wybrać \(\displaystyle{ n}\) liczb, których suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\).

Dozwolone jest takie rozbicie tezy?
Odejmijmy na początek jedną liczbę z \(\displaystyle{ (n-1) ^{2} + 1}\) liczb
Wśród \(\displaystyle{ (n-1) ^{2}}\) liczb niepodzielnych przez \(\displaystyle{ n}\) możliwych jest \(\displaystyle{ n-1}\) reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\), więc co najmniej \(\displaystyle{ n-1}\) liczb ma tą samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\). Po dodaniu odjętej wcześniej liczby w którymś zestawie \(\displaystyle{ n}\) liczb będzie miało tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\), a suma \(\displaystyle{ n}\) liczb z tą samą resztą z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) daje liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ n}\).

[a4karo]

Generalnie OK, choć brakuje mi dokłądniejszego wyjaśnienia:

Jeżeli znajdziemy \(\displaystyle{ n}\) liczb, których reszty są takie same, to ich suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\). Jeżeli natomiast każda reszta występuje \(\displaystyle{ n-1}\) razy, to ta liczba usunięta (wolę ją usunąć niż odjąć) wraz z odpowiadającymi jej \(\displaystyle{ n-1}\) liczbami o tej samej reszcie ma sumę podzielną przez \(\displaystyle{ n}\).

Takie rozwiązanie jest poprawne, choć w tym przypadku nieco sztuczne. Reszt jest \(\displaystyle{ n-1}\), liczb je st \(\displaystyle{ (n-1)^2+1}\), więc na mocy zasady szufladkowej któraś reszta musi wystąpić przynajmniej \(\displaystyle{ n}\) razy...

[SkitsVicious]

Wiem o tym. Zastanawiam się tylko, czy jakby na konkursie pojawiło się takie zadanie, to czy konieczne jest rozpisywanie tego, czy po prostu informacja o tym, że wprost wynika to z zasady szufladkowej

[Rafsaf]

Nic nie trzeba rozpisywać, komentarz a4karo w poście wyżej w zupełności starczy jako rozwiązanie.

Mam na myśli:

Reszt jest \(\displaystyle{ n-1}\), liczb jest \(\displaystyle{ (n-1)^2+1}\), więc na mocy zasady szufladkowej któraś reszta musi wystąpić przynajmniej \(\displaystyle{ n}\) razy

Można dodać ew: Więc dodając te \(\displaystyle{ n}\) liczb dających tę samą resztę otrzymamy liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ n}\) czy jakiś inny "bełkot" tego typu.