Witam. Mam takie zadanie i nie wiem jak się do niego zabrać.
Znajdź ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ a_{n} = 5a _{n-1}+6a_{n-2} + F(n)}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\)
\(\displaystyle{ F(n) = 3 ^{n}}\)
Proszę o pomoc
Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego
-
KubaaIV
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 21 lis 2017, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego
Ostatnio zmieniony 8 maja 2018, o 20:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego
Funkcjami tworzącymi:
\(\displaystyle{ a_n=5a_{n-1}+6a_{n-2}+3^n\\ \sum_{n=2}^{ \infty }a_n x^n=5 \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^n+6 \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-2}x^n+ \sum_{n=2}^{ \infty } 3^n x^n}\)
Jeśli teraz oznaczymy \(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n}\), to otrzymujemy
\(\displaystyle{ G(x)-a_1 x-a_0=5x(G(x)-a_0)+6x^2G(x)+ \frac{9x^2}{1-3x}}\)
(wzór na sumę szeregu geometrycznego), czyli
\(\displaystyle{ G(x)= \frac{(a_1-5a_0) x+a_0}{1-5x-6x^2}+ \frac{9x^2}{(1-3x)(1-5x-6x^2)}}\)
Teraz pozostaje rozłożyć prawą stronę na sumę ułamków prostych (wskazówka:
\(\displaystyle{ 1-5x-6x^2=(x+1)(-6x+1)}\)), skorzystać parę razy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\).
Zostawiam to już dla Ciebie.-- 8 maja 2018, o 20:44 --Można również inaczej podejść do tego zadania: dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) mamy
\(\displaystyle{ a_n=5a_{n-1}+6a_{n-2}+3^n\\a_{n-1}=5a_{n-2}+6a_{n-3}+3^{n-1}}\)
i mnożąc tę drugą zależność stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ a_n=5a_{n-1}+6a_{n-2}+3^n\\3a_{n-1}=15a_{n-2}+18a_{n-3}+3^{n}}\)
Teraz odejmując drugie równanie stronami od pierwszego mamy:
\(\displaystyle{ a_n-3a_{n-1}=5(a_{n-1}-3a_{n-2})+6(a_{n-2}-3a_{n-3})}\)
czyli jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ b_n=a_n-3a_{n-1}}\), to ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) spełnia zależność rekurencyjną
\(\displaystyle{ b_n=5b_{n-1}+6b_{n-2}}\), więc jak ktoś zna równania charakterystyczne, to dojdzie do wniosku, że
\(\displaystyle{ b_n=A(-1)^n+B\left( \frac 1 6\right)^n}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A, B}\).
Czyli
\(\displaystyle{ a_n-3a_{n-1}=A(-1)^n+B\left( \frac 1 6\right)^n}\)
i teraz zapisujemy tak:
\(\displaystyle{ a_n=(a_n-3a_{n-1})+3(a_{n-1}-3a_{n-2})+\ldots +3^{n-2}(a_2-3a_1)+3^{n-1}(a_1-3a_0)+3^na_0}\),
wstawiamy \(\displaystyle{ a_k-3a_{k-1}=A(-1)^k+B\left( \frac 1 6\right)^k}\) i sumujemy odpowiednie ciągi geometryczne.
To nieco mniej schematyczne, ale raczej nie przyda Ci się za bardzo takie podejście.
\(\displaystyle{ a_n=5a_{n-1}+6a_{n-2}+3^n\\ \sum_{n=2}^{ \infty }a_n x^n=5 \sum_{n=2}^{ \infty }a_{n-1}x^n+6 \sum_{n=2}^{ \infty } a_{n-2}x^n+ \sum_{n=2}^{ \infty } 3^n x^n}\)
Jeśli teraz oznaczymy \(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{ \infty }a_n x^n}\), to otrzymujemy
\(\displaystyle{ G(x)-a_1 x-a_0=5x(G(x)-a_0)+6x^2G(x)+ \frac{9x^2}{1-3x}}\)
(wzór na sumę szeregu geometrycznego), czyli
\(\displaystyle{ G(x)= \frac{(a_1-5a_0) x+a_0}{1-5x-6x^2}+ \frac{9x^2}{(1-3x)(1-5x-6x^2)}}\)
Teraz pozostaje rozłożyć prawą stronę na sumę ułamków prostych (wskazówka:
\(\displaystyle{ 1-5x-6x^2=(x+1)(-6x+1)}\)), skorzystać parę razy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego i spojrzeć na współczynnik przy \(\displaystyle{ x^n}\).
Zostawiam to już dla Ciebie.-- 8 maja 2018, o 20:44 --Można również inaczej podejść do tego zadania: dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) mamy
\(\displaystyle{ a_n=5a_{n-1}+6a_{n-2}+3^n\\a_{n-1}=5a_{n-2}+6a_{n-3}+3^{n-1}}\)
i mnożąc tę drugą zależność stronami przez \(\displaystyle{ 3}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ a_n=5a_{n-1}+6a_{n-2}+3^n\\3a_{n-1}=15a_{n-2}+18a_{n-3}+3^{n}}\)
Teraz odejmując drugie równanie stronami od pierwszego mamy:
\(\displaystyle{ a_n-3a_{n-1}=5(a_{n-1}-3a_{n-2})+6(a_{n-2}-3a_{n-3})}\)
czyli jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ b_n=a_n-3a_{n-1}}\), to ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) spełnia zależność rekurencyjną
\(\displaystyle{ b_n=5b_{n-1}+6b_{n-2}}\), więc jak ktoś zna równania charakterystyczne, to dojdzie do wniosku, że
\(\displaystyle{ b_n=A(-1)^n+B\left( \frac 1 6\right)^n}\) dla pewnych stałych \(\displaystyle{ A, B}\).
Czyli
\(\displaystyle{ a_n-3a_{n-1}=A(-1)^n+B\left( \frac 1 6\right)^n}\)
i teraz zapisujemy tak:
\(\displaystyle{ a_n=(a_n-3a_{n-1})+3(a_{n-1}-3a_{n-2})+\ldots +3^{n-2}(a_2-3a_1)+3^{n-1}(a_1-3a_0)+3^na_0}\),
wstawiamy \(\displaystyle{ a_k-3a_{k-1}=A(-1)^k+B\left( \frac 1 6\right)^k}\) i sumujemy odpowiednie ciągi geometryczne.
To nieco mniej schematyczne, ale raczej nie przyda Ci się za bardzo takie podejście.