Liczba rozwiązań równania

[maximusss]

Witam, zastanawiam się nad jednym zadaniem z matematyki dyskretnej.

Treść: Podaj liczbę rozwiązań równania:

\(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+...+x_{m} = 147}\)

przy założeniach:
\(\displaystyle{ m\in N ^{+} , x_{i} \ge i, i = \overline{1,m}}\)

Zadanie wydaje się proste i nasuwającą się odpowiedzią jest:

\(\displaystyle{ {m-1+147 \choose 147}}\)

Zastanawia mnie jednak założenie \(\displaystyle{ x_{i} \ge i, i = \overline{1,m}}\)
\(\displaystyle{ (i = 1,2,...,m)}\). Pierwsze oznaczenie to prawdopodobnie umowne oznaczenie Pana profesora.

Wydaje mi się że wpłynie ono na rozwiązanie, jednak nie potrafię tego przedstawić. Proszę o jakieś wskazówki.

[kerajs]

Zastanawia mnie jednak założenie \(\displaystyle{ x_{i} \ge i, i = \frac{}{1,m}}\)

Wydaje mi się że wpłynie ono na rozwiązanie, jednak nie potrafię tego przedstawić. Proszę o jakieś wskazówki.

Przypuszczam, że miało być:
\(\displaystyle{ x_{i} \ge i, i = \frac{1}{m}}\)
co jest równoważne z \(\displaystyle{ x_{i} \ge 1}\) skoro rozwiązania powinny być (?) naturalne.
Wtedy ich ilość to:
\(\displaystyle{ {147 \choose m-1}}\)

[maximusss]

Nie, chodzi o indeks \(\displaystyle{ i}\) przyjmujący wartości od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ m}\), ze skokiem co \(\displaystyle{ 1}\).

[Jan Kraszewski]

No to jednak raczej tak: \(\displaystyle{ i=1,2,...,m}\), bo Twoje oznaczenie jest zupełnie niezrozumiałe.

JK

[kerajs]

Czyli chodzi o całkowitoliczbowe rozwiązania gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 \ge 1 \\ x_2 \ge 2\\ ... \\ x_m \ge m \end{cases}}\)
Jeśli tak to:
a) dla \(\displaystyle{ m \ge 17}\) równanie nie ma rozwiązania
b) dla \(\displaystyle{ 1 \le m < 17}\) ilość rozwiązań to:
\(\displaystyle{ {147- \frac{(m-1)m}{2} \choose m-1}}\)

Przyjmuję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1'}=x_1 \\ x_{2'}=x_2-1 \\ x_{3'}=x_3-2 \\ ... \\ x_{m'}=x_m-(m-1) \end{cases}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1'} \ge 1 \\ x_{2'} \ge 1\\ x_{3'} \ge 1\\ ... \\ x_{m'} \ge 1 \end{cases}}\)
więc szukam naturalnych dodatnich rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ x_{1'}+x_{2'}+...+x_{m'}=147-(1+2+...(m-1))}\)

[maximusss]

Rozumiem. Dziękuję.