Ile jest rozwiązań równania

[uczen23]

Ile jest rozwiązań równania

\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=41}\)

jeśli \(\displaystyle{ 0 \le x_i \le 16}\) dla \(\displaystyle{ 1 \le i \le 4}\)


gdyby nie było ograniczenia to łatwo \(\displaystyle{ {44 \choose 4}}\)

a co w przypadku tego ograniczenia?
Mógłby ktos łopatologicznie pokazać jak to się robi?

[Zymon]

Według mnie to jednak \(\displaystyle{ {44 \choose 3}}\)

Zasada włączeń i wyłączeń. Niech: \(\displaystyle{ X_{i}}\) będzie zbiorem takich rozwiązań, że \(\displaystyle{ x_{i}>16}\). Wówczas szukaną wartością będzie \(\displaystyle{ {44 \choose 3}-\left| \bigcup_{i=1}^{4} X_{i}\right|}\)

Moc ustawienia gdy jedna liczba jest większa niż \(\displaystyle{ 16}\) uzyskasz po prostu podstawiając \(\displaystyle{ x_{i}=y_{i}+17}\) (gdyż pamiętamy, że ma zajść ostra nierówność). Warto też zauważyć, że każde przecięcie po 3 zbiory będzie puste.

[arek1357]

\(\displaystyle{ \left( \sum_{i=0}^{16}x^i \right) ^4}\)





wsp. przy: \(\displaystyle{ x^{41}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ 2264}\)