Suma trzech liczb naturalnych

[alfacentaur]

Rozważamy równanie \(\displaystyle{ x+y+z=10}\). Jego rozwiązaniami są uporządkowane trójki liczb.
Ile jest takich rozwiązań, które składają się z trzech liczb naturalnych?

W odpowiedziach jest: 66
Ja zrobiłem tak:
(|.|.|.|.|.|.|.|.|.|.|)
Wynika z tego że, kreski wbijamy dowolnie dwa razy w jedno z 11 miejsc, wynikałoby z tego że wynik wyjdzie 121.
Wyjaśni mi ktoś miły na czym polega mój błąd ?

[Premislav]

Jeśli już, to wybierasz dwie z \(\displaystyle{ 11}\) kresek, nie powtarzając wyboru (i kolejność wyboru tych kresek nie jest istotna), czyli kombinacje, a nie wariacje i miałbyś \(\displaystyle{ {11\choose 2}=55}\). Ale gubisz w ten sposób pewne przypadki (tak na oko nie bierzesz pod uwagę, że któreś z liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) mogą być zerami, tj. dokładniej pomijasz możliwość \(\displaystyle{ y=0}\)).

Zobacz tutaj: ... dwumianowe

[Zymon]

Liczbę rozwiązań takiego równania można przedstawić jako liczbę multizbiorów o wartościach z \(\displaystyle{ [3]}\) liczności \(\displaystyle{ 30}\) a tych jest \(\displaystyle{ {12 \choose 2}}\) .