Jedynka należy do cyklu dł. k

[aolo23]

Niech \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\). Ile spośród permutacji z \(\displaystyle{ S_{n}}\) ma tę własność, że jedynka należy do cyklu o długości \(\displaystyle{ k}\)?

[arek1357]

\(\displaystyle{ a(n,k)= {n-1 \choose k-1}(k-1)!(n-k)!}\)

[aolo23]

Panie Arkadiuszu, jest możliwość rozpisania tego?
To niewiele pisania a naprawdę przyśpieszy zrozumienie
Byłbym wdzięczny

[arek1357]

Najpierw wybierasz jedynkę i kładziesz na bok
Zostaje Ci \(\displaystyle{ n-1}\) liczb,
teraz do tej jedynki dobierasz\(\displaystyle{ k-1}\) liczb
na:

\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\) sposobów
i masz cykl
tego typu cykli o długości k jest:

\(\displaystyle{ (k-1)!}\)

Zostaje Ci \(\displaystyle{ n-k}\) liczb, które permutujesz na:

\(\displaystyle{ (n-k)!}\)

Potem wszystko wymnażasz i masz wzór...

[aolo23]

Dzięki serdecznie zgodziło się z moim rozumowaniem