wykaż, że dla n>1 zachodzi nierówność

[pow3r]

wykaż, że dla \(\displaystyle{ n>1}\) zachodzi nierówność :

\(\displaystyle{ n!< \left( \frac{n+1}{2} \right) ^n}\)

[Premislav]

Tutaj masz udowodniony ogólniejszy fakt: 426074.htm

Wystarczy wziąć ciąg arytmetyczny o n-tym wyrazie danym równością \(\displaystyle{ a_n=n}\).

[pow3r]

Tutaj masz udowodniony ogólniejszy fakt: 426074.htm

Wystarczy wziąć ciąg arytmetyczny o n-tym wyrazie danym równością \(\displaystyle{ a_n=n}\).

nie do końca rozumiem, ja musze udowodnic to poprzez indukcje matematyczna

[Premislav]

W takim razie dobrze byłoby umieścić tę informację w pierwszym poście. Nie wiem, dlaczego uważasz, że ktoś tu posiada moc czytania w Twoich myślach.

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=2}\) nierówność przyjmuje postać \(\displaystyle{ \frac{9}{4} >2}\), co niewątpliwie jest prawdą.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) jest
\(\displaystyle{ n!<\left( \frac{n+1}{2}\right)^n}\), to
\(\displaystyle{ (n+1)!=(n+1)\cdot n!<(n+1)\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^n=\\=2\cdot \left( \frac{n+1}{2} \right)^{n+1}=2\left( \frac{n+2}{2} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n+1}=\\=\left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}\cdot \frac{2}{\left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} } \le \left( \frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}\)
W pierwszym przejściu wykorzystałem założenie indukcyjne, a w ostatniej nierówności –fakt, że
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\ge 2}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\),
co wynika np. z nierówności Bernoulliego:
Tutaj \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n+1}, \ \alpha=n+1}\).