Liczby w których takie same dwie cyfry nie stoją obok siebie

[matematykipatyk]

Dlaczego jest \(\displaystyle{ 9^k}\) liczb \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ k>1}\) cyfrowych w których żadne dwie cyfry nie stoją obok siebie.

[robalbrowal]

Na 1. pozycję (od lewej strony) możesz wybrać jedną z 9 cyfr: \(\displaystyle{ {1, 2,...,9}}\). Następnie na każdą kolejną pozycję będziemy wstawiali cyfrę. Zauważmy, że na każdą pozycję możemy wstawić jedną z dziewięciu cyfr - każdą, poza tą, która stoi na miejscu przed nią. Po każdym takim wstawieniu warunek pozostaje spełniony, więc takich liczb jest \(\displaystyle{ 9 ^{k}}\), gdyż na każde z \(\displaystyle{ k}\) miejsc możemy wstawić jedną z dziewięciu cyfr. (o ile dobrze domyśliłem się treści zadania )