Kombinatoryka plus prosta geometria.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 6 razy

Kombinatoryka plus prosta geometria.

Post autor: Zaratustra »

Witam, sprawdzi ktoś moje zadanko? Szczególnie moją argumentację (to często u mnie kuleje)?
Zadanie: w trójwymiarowej przestrzeni danych jest \(\displaystyle{ n}\) punktów, z których żadne \(\displaystyle{ 4}\) nie leżą na jednej płaszczyźnie. Ile jest prostych i ile płaszczyzn wyznaczają te punkty?

Od razu nasuwa się, że:
-dwa punkty możemy wybrać na \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\) sposobów i dwa punkty wyznaczają prostą;
-trzy punkty na \(\displaystyle{ {n\choose 3}}\) sposobów i trzy punkty wyznaczają płaszczyznę (o ile nie są współliniowe).

No i nie było wcale dla mnie oczywiste w pierwszej chwili czy z założeń wynika, że np. żadne \(\displaystyle{ 3}\) punkty nie są współliniowe i nie trzeba czegoś odjąć aby nie liczyć dwa razy tego samego :< (głupi jestem czy uważny? ) Napisałem sobie tak:

Gdyby dowolne \(\displaystyle{ 3}\) punkty były współliniowe, to każdy czwarty punkt niewspółliniowy wyznaczałby razem z nimi płaszczyznę i wszystkie te cztery punkty leżałyby razem na niej wbrew założeniu. Ok?
Stąd jest, że każde trzy punkty są niewspółliniowe, czyli dowolna para, którą możemy wybrać na \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\) sposobów wyznacza jednoznacznie prostą.
Mamy również, że każde \(\displaystyle{ 3}\) punkty są niewspółliniowe, stąd wyznaczają jednoznacznie płaszczyznę - zatem jest \(\displaystyle{ {n\choose 3}}\) płaszczyzn.

W sumie wątpliwości wynikły raczej z elementarną geometrią :< niż z kombinatoryką, ale zadanie z kombinatoryki... Jakby coś to proszę przenieść temat.
Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Re: Kombinatoryka plus prosta geometria.

Post autor: Rafsaf »

Ja bym się zgodził z Tobą całkowicie
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Kombinatoryka plus prosta geometria.

Post autor: matmatmm »

Według mnie powinno być założenie \(\displaystyle{ n\ge 4}\).
Zaratustra pisze: Gdyby dowolne \(\displaystyle{ 3}\) punkty były współliniowe, to każdy czwarty punkt niewspółliniowy wyznaczałby razem z nimi płaszczyznę i wszystkie te cztery punkty leżałyby razem na niej wbrew założeniu. Ok?
Ja bym w tym miejscu poczynił założenie: "Gdyby wśród wybranych punktów istniały \(\displaystyle{ 3}\) parami różne punkty współliniowe". I dalej można jeszcze rozpisać to bardziej dokładnie: Oznaczmy nasze punkty przez \(\displaystyle{ A,B,C}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n\ge 4}\), istnieje punkt \(\displaystyle{ D}\) różny od \(\displaystyle{ A,B,C}\), który należy do zbioru wybranych punktów. Z założenia \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są niewspółpłaszczyznowe i na mocy lematu \(\displaystyle{ A,B,C}\) są niewspółliniowe. Sprzeczność.

Lemat. Jeśli 4 (różne) punkty są niewspółpłaszczyznowe, to dowolne 3 z nich są niewspółliniowe.
Awatar użytkownika
Zaratustra
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 182
Rejestracja: 24 lut 2015, o 16:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 6 razy

Kombinatoryka plus prosta geometria.

Post autor: Zaratustra »

matmatmm pisze:Według mnie powinno być założenie \(\displaystyle{ n\ge 4}\).
Ja bym w tym miejscu poczynił założenie: "Gdyby wśród wybranych punktów istniały \(\displaystyle{ 3}\) parami różne punkty współliniowe". I dalej można jeszcze rozpisać to bardziej dokładnie: [...]
Lemat. Jeśli 4 (różne) punkty są niewspółpłaszczyznowe, to dowolne 3 z nich są niewspółliniowe.
Faktycznie, założenie nie mówi, że jest ich co najmniej cztery - bo byłoby spełnione dla mniej niż czterech. Dzięki szczególnie za tę uwagę ;] W lemat też zgrabne ujęcie
ODPOWIEDZ