Liczby naturalne trzycyfrowe

[FaloZ]

Problem z takim zadaniem, chyba dosyć proste, ale mam problemy z kombinatoryką, zatem prosiłbym o wskazówki

Ile jest liczb naturalnych co najwyżej trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa \(\displaystyle{ 20}\)?

Liczby dwucyfrowe wykluczam, bo największa liczba dwucyfrowa to \(\displaystyle{ 99}\), a suma jej dwóch cyfr jest równa \(\displaystyle{ 18}\). Rozpatruje zatem same liczby trzycyfrowe. Zaczynam od "\(\displaystyle{ 9}\) setki", bo chyba jest najłatwiej:

\(\displaystyle{ 992}\) , zapisać można na 3 sposoby ( \(\displaystyle{ 992, 929, 299}\) )
\(\displaystyle{ 983,\ 3!}\) permutacji
\(\displaystyle{ 974,\ 3!}\) permutacji
\(\displaystyle{ 965,\ 3!}\) permutacji

\(\displaystyle{ 884,\ 3!}\) permutacji
\(\displaystyle{ 875,\ 3!}\) permutacji

\(\displaystyle{ 776\ (776, 767, 677)\\
668\ (668, 686, 866)}\)

\(\displaystyle{ 3+3 \cdot 3! + 2 \cdot 3! + 3 + 3 = 3 + 18 + 12 + 6 = 39}\)

Nie jestem pewien, mogłem coś przeoczyć, albo policzyć dwukrotnie, ponieważ na ćwiczeniach wyszło nam \(\displaystyle{ 30}\) takich liczb. Jednak moje pytanie. Czy można to zapisać za pomocą jakiegoś wzoru kombinatorycznego? Prawdopodobnie jest to wariacja z powtórzeniami, ponieważ liczby są ustawione w ciąg i kolejność ma znaczenie. Jeśli się mylę proszę o sprostowanie.

[Premislav]

\(\displaystyle{ 884,\ 3!}\) permutacji

Nieprawda, przecież to jest to samo, co \(\displaystyle{ 776}\) i inne utworzone z tego zestawu cyfr.

Ogólnie jeśli masz złożyć słowo z \(\displaystyle{ k_1}\) znaków \(\displaystyle{ a_1, \ k_2}\) znaków \(\displaystyle{ a_2}\)… i \(\displaystyle{ k_m}\) znaków \(\displaystyle{ a_m}\), przy czym \(\displaystyle{ k_1+k_2+\ldots+k_m=n}\), to możesz to uczynić na
\(\displaystyle{ {n \choose k_1}{n-k_1\choose k_2}\ldots =\frac{n!}{k_1!k_2! \ldots k_m!}}\) sposobów (dowód to prosta kombinatoryka, wybierasz najpierw \(\displaystyle{ k_1}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) miejsc, na których będzie stał znak \(\displaystyle{ a_1}\) na \(\displaystyle{ {n\choose k_1}}\) sposobów, potem na \(\displaystyle{ {n-k_1 \choose k_2}}\) sposobów wybierasz z pozostałych miejsca, na które wstawisz znak \(\displaystyle{ a_2}\) itd.;
nie trzeba więc tak wypisywać \(\displaystyle{ 767, \ 776}\) itd. choć tu akurat to szybkie).

Mnie wyszło \(\displaystyle{ 36}\) możliwości, ale kiepsko liczę na palcach. Najlepiej napisz prosty program np. w C++, który zliczy wszystkie możliwości i sobie sprawdzisz. Mnie się tego nie chce robić.

[FaloZ]

\(\displaystyle{ 884,\ 3!}\) permutacji

Nieprawda, przecież to jest to samo, co \(\displaystyle{ 776}\) i inne utworzone z tego zestawu cyfr.

Tak masz rację, musiałem przeoczyć tę liczbę, więc licząc 3 możliwe permutacje tej liczby ( a nie 6), też wychodzi 36, zatem chyba już jest okej. Dziękuję