Na ile sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ m}\) tak, aby nie stały na sąsiadujących polach?
Znalazłem temat na forum z identycznym zadaniem: 337768.htm , ale wydaję mi się, że nie do końca rozumiem rozwiązania.
Sytuacja, gdy król stoi w rogu jest dla mnie jasna, bo szachownica jest wymiaru \(\displaystyle{ n imes m}\) i eliminujemy trzy pola oraz miejsce, na którym stoi król. Dla jednego rogu mamy zatem \(\displaystyle{ (mn-4)}\). Wynik mnożymy czterokrotnie z racji, iż szachownica posiada dokładnie \(\displaystyle{ 4}\) rogi.
Problem zaczyna się dalej. Sytuacja, kiedy król stoi przy krawędzi szachownicy jest prawie jasna. Przypadek \(\displaystyle{ (mn-6)}\) jest klarowny, bo mamy tutaj podobną sytuację jak w przypadku, gdy król stoi w rogu. Problem zaczyna się w sytuacji \(\displaystyle{ ( 2n + 2m - 4)}\). Prawdopodobnie chodzi o to, że rozpatrujemy każdą krawędź (\(\displaystyle{ 2n}\) i \(\displaystyle{ 2m}\)) i odejmujemy cztery rogi, czyli wykluczamy pierwszą sytuację, gdy król stał w rogu.
W sytaucji gdy król może być wewnątrz szachownicy wykluczając przypadki rogów i krawędzi też jest mało "klarowny". \(\displaystyle{ (mn - 9)}\), tutaj rozumiem, że wokół króla stojącego wewnątrz szachownicy jest \(\displaystyle{ 8}\) pól i do tego uwzględniamy samego króla. Zapis \(\displaystyle{ n cdot m - 2 cdot m - 2 cdot n}\) oznacza po prostu, że od wszystkich pól szachownicy odejmujemy jej krawędzie?
Dwa króle na szachownicy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Dwa króle na szachownicy
1) Zauważ że przyjmujesz szachownice w których \(\displaystyle{ n,m \in \left\{ 3,4,5,6,7,...\right\}}\), i tylko dla takich szachownic problematyczne wzory mają (po ich poprawieniu) sens.
Sadzę, że należałoby także rozważyć dziwne szachownice, w których jeden z boków wynosi 1 lub 2.
2.
Nie rozumiem dlaczego ignorujesz post Chromosoma który poprawia wzory myszki9 .
3.
A co gdy mamy dwa czarne króle?
4.
\(\displaystyle{ (n-2)+(m-2)+(n-2)+(m-2)=2n+2m-8}\)
5.
6.
Ja rozwiązywałbym inaczej. Od wszystkich możliwych ustawień odejmowałbym ustawienia gdy króle stoją na sąsiednich polach.
Ponadto rozważałbym dwa przypadki: dla rozróżnialnych i nierozróżnialnych króli.
Sadzę, że należałoby także rozważyć dziwne szachownice, w których jeden z boków wynosi 1 lub 2.
2.
Nie rozumiem dlaczego ignorujesz post Chromosoma który poprawia wzory myszki9 .
3.
Takie podejście wymusza przyjęcie nienapisanego założenia, iż króle są rozróżnialne. Wynika to z dublowania zliczanych wyników. Np: zdarzenie gdy jeden król stoi w narożniku (1,1) a drugi w rogu (1,n) jest zliczane ponownie gdy jeden król stoi w narożniku (1,n) a drugi w (1,1). Tak tez jest w kolejnych rozważanych przypadkach ustawień króli.FaloZ pisze:Sytuacja, gdy król stoi w rogu jest dla mnie jasna, bo szachownica jest wymiaru \(\displaystyle{ n \times m}\) i eliminujemy trzy pola oraz miejsce, na którym stoi król. Dla jednego rogu mamy zatem \(\displaystyle{ (mn-4)}\). Wynik mnożymy czterokrotnie z racji, iż szachownica posiada dokładnie \(\displaystyle{ 4}\) rogi.
A co gdy mamy dwa czarne króle?
4.
Pól które są polami skrajnymi, ale nie rogami, jest:FaloZ pisze: Problem zaczyna się dalej. Sytuacja, kiedy król stoi przy krawędzi szachownicy jest prawie jasna. Przypadek \(\displaystyle{ (mn-6)}\) jest klarowny, bo mamy tutaj podobną sytuację jak w przypadku, gdy król stoi w rogu. Problem zaczyna się w sytuacji \(\displaystyle{ ( 2n + 2m - 4)}\). Prawdopodobnie chodzi o to, że rozpatrujemy każdą krawędź (\(\displaystyle{ 2n}\) i \(\displaystyle{ 2m}\)) i odejmujemy cztery rogi, czyli wykluczamy pierwszą sytuację, gdy król stał w rogu.
\(\displaystyle{ (n-2)+(m-2)+(n-2)+(m-2)=2n+2m-8}\)
5.
Miało to oznaczać, lecz rogi zostały odjęte dwukrotnie. Powinno być \(\displaystyle{ mn-2n-2(m-2)}\) albo \(\displaystyle{ (n-2)(m-2)}\)FaloZ pisze: W sytaucji gdy król może być wewnątrz szachownicy wykluczając przypadki rogów i krawędzi też jest mało "klarowny". \(\displaystyle{ (mn - 9)}\), tutaj rozumiem, że wokół króla stojącego wewnątrz szachownicy jest \(\displaystyle{ 8}\) pól i do tego uwzględniamy samego króla. Zapis \(\displaystyle{ n \cdot m - 2 \cdot m - 2 \cdot n}\) oznacza po prostu, że od wszystkich pól szachownicy odejmujemy jej krawędzie?
6.
Ja rozwiązywałbym inaczej. Od wszystkich możliwych ustawień odejmowałbym ustawienia gdy króle stoją na sąsiednich polach.
Ponadto rozważałbym dwa przypadki: dla rozróżnialnych i nierozróżnialnych króli.