Cześć. Mam dosyć skomplikowany problem, który dotyczy krystalizacji związku z roztworu na pewnej częściowo zamkniętej powierzchni, koncepcyjnie jednak, to czysta probabilistyka. Otóż, załóżmy, że mamy do dyspozycji pierwszą ćwiartkę układu współżędnych, podzieloną na sieć kwadratów jeden na jeden. Zaczynamy losowo wypełniać/zamolowywać kwadraty począwszy od pierwszego w lewym dolnym rogu, w taki sposób, że wypełniamy kwadratami tylko "rogi", a więc możemy zamalować taki kwadrat, który sąsiaduje z dwoma innymi kwadratami, albo z kwadratem i osią x lub y, lub na odwrót (To jest reprezentacja pwenej losowej adsorbcji molekuł na powierzchni). Przeprowadziełem symulacje w Mathematice dla 10 000 iteracji, która wyglada tak (poniżej). Różne kolory wskazują odrębne okresy iteracji, co jeden tysiąc.
Z tego, poterzebuję wiedzieć do jakiego kształtu dąży krzywa utoworzona przez frontalne odsorbcje Wygląda z grubsza na to, że to jakieś \(\displaystyle{ \lambda e^{-\gamma x}}\). Jak mogę probabilistycznie wyprowadzić/udowodnić kształt tej krzywej? Dzięki z góry za pomoc!