Wyznacz sumę: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2} =\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} {n \choose n-k} = {n+n \choose n} = {2n \choose n}}\)
Więc z tego możemy wnioskować że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}}\)\(\displaystyle{ = \left( -1\right)^{k}{2n \choose n}}\) ?
Wyznacz sumę
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wyznacz sumę
Oczywiście nie, ponieważ \(\displaystyle{ (-1)^k}\) zależy od \(\displaystyle{ k}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}}\), wówczas zmieniając kolejność sumowania i korzystając z \(\displaystyle{ {n \choose k}={n\choose n-k}}\) oraz \(\displaystyle{ (-1)^{-1}=-1}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2a_n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2(-1)^k+ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2(-1)^{n-k}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(-1)^k(1+(-1)^n)=\\=(1+(-1)^n) \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(-1)^k}\)
zatem gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ a_n=0}\).
-- 5 mar 2018, o 23:23 --
Natomiast nie bardzo umiem sobie poradzić z tymi parzystymi. Nie będę na to poświęcać całego (późnego) wieczoru. Na siłę można to zrobić korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ {k+1 \choose r+1}={k\choose r+1}+{k \choose r}}\), ale to jest naprawdę straszna siłownia.
Jeśli \(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}}\), to uzasadniłem wyżej, że \(\displaystyle{ a_{2n+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2\ldots}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ {2n+1 \choose k}^2-{2n \choose k}^2=\left({2n+1\choose k}-{2n \choose k} \right) \left( {2n+1 \choose k}+{2n \choose k}\right)=\\={2n \choose k-1}\left( {2n \choose k-1}+2{2n \choose k}\right)}\)
i teraz mnożąc to stronami przez \(\displaystyle{ (-1)^k}\), sumując dla \(\displaystyle{ k=1\ldots 2n+1}\) otrzymujemy, ze
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n+1} {2n+1\choose k}^2(-1)^k- \sum_{k=1}^{2n} {2n\choose k}^2(-1)^k=\\= \sum_{k=1}^{2n+1}{2n \choose k-1}^2(-1)^k+2 \sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k-1}{2n\choose k}(-1)^k}\)
i teraz należy wykorzystać \(\displaystyle{ a_{2n+1}=0}\), przesunąć indeksy w sumie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n+1}{2n \choose k-1}^2(-1)^k}\) i jakoś zwinąć
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k-1}{2n\choose k}(-1)^k}\)
albo w ostateczności skorzystać z rachunku całkowego. Zostawiam to cholerstwo.-- 5 mar 2018, o 23:33 --Eksperymenty obliczeniowe sugerują, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n} {2n\choose k}^2(-1)^k=(-1)^n {2n \choose n}}\)
Jak ktoś jest cierpliwy, to może spróbować to udowodnić indukcyjnie, ale ja odpuszczam.
Oznaczmy \(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}}\), wówczas zmieniając kolejność sumowania i korzystając z \(\displaystyle{ {n \choose k}={n\choose n-k}}\) oraz \(\displaystyle{ (-1)^{-1}=-1}\) mamy:
\(\displaystyle{ 2a_n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2(-1)^k+ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^2(-1)^{n-k}= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(-1)^k(1+(-1)^n)=\\=(1+(-1)^n) \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(-1)^k}\)
zatem gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ a_n=0}\).
-- 5 mar 2018, o 23:23 --
Natomiast nie bardzo umiem sobie poradzić z tymi parzystymi. Nie będę na to poświęcać całego (późnego) wieczoru. Na siłę można to zrobić korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ {k+1 \choose r+1}={k\choose r+1}+{k \choose r}}\), ale to jest naprawdę straszna siłownia.
Jeśli \(\displaystyle{ a_n=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^{2}(-1)^{k}}\), to uzasadniłem wyżej, że \(\displaystyle{ a_{2n+1}=0}\) dla \(\displaystyle{ n=0,1,2\ldots}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ {2n+1 \choose k}^2-{2n \choose k}^2=\left({2n+1\choose k}-{2n \choose k} \right) \left( {2n+1 \choose k}+{2n \choose k}\right)=\\={2n \choose k-1}\left( {2n \choose k-1}+2{2n \choose k}\right)}\)
i teraz mnożąc to stronami przez \(\displaystyle{ (-1)^k}\), sumując dla \(\displaystyle{ k=1\ldots 2n+1}\) otrzymujemy, ze
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n+1} {2n+1\choose k}^2(-1)^k- \sum_{k=1}^{2n} {2n\choose k}^2(-1)^k=\\= \sum_{k=1}^{2n+1}{2n \choose k-1}^2(-1)^k+2 \sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k-1}{2n\choose k}(-1)^k}\)
i teraz należy wykorzystać \(\displaystyle{ a_{2n+1}=0}\), przesunąć indeksy w sumie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n+1}{2n \choose k-1}^2(-1)^k}\) i jakoś zwinąć
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=1}^{2n}{2n\choose k-1}{2n\choose k}(-1)^k}\)
albo w ostateczności skorzystać z rachunku całkowego. Zostawiam to cholerstwo.-- 5 mar 2018, o 23:33 --Eksperymenty obliczeniowe sugerują, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{2n} {2n\choose k}^2(-1)^k=(-1)^n {2n \choose n}}\)
Jak ktoś jest cierpliwy, to może spróbować to udowodnić indukcyjnie, ale ja odpuszczam.