Symbol Newtona

[aolo23]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{50} {101 \choose k}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{101} {101 \choose k}}\)
Jak się dobrać do tego
Chciałbym jedno rozwiązanie zobaczyć a drugie sam zrobić jeśli tak można

[Premislav]

Pierwsze: zauważ, że \(\displaystyle{ {n \choose k}={n\choose n-k}}\)
oraz \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^n}\), to się przyda.

[aolo23]

Co do \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{50} {101 \choose k}}\)
będzie zwyczajnie się równało \(\displaystyle{ 2 ^{100}}\)?

[Premislav]

Tak.

[aolo23]

Ale odnośnie formalizmów. niespecjalnie to liczyłem tylko spostrzegłem że to zwyczajnie połowa tego co
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{50}{101 \choose k}= \frac{2^{101}}{2}}\) i tyle? Bo chyba za mało pisania tak mi się wydaje

[Premislav]

Dlaczego za mało pisania? Moim zdaniem o to właśnie chodzi.

[aolo23]

odnośnie drugiego
zauważmy że\(\displaystyle{ {101 \choose 101} = {101 \choose 0}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{101} {101 \choose k} = \sum_{k=0}^{100} {101 \choose k} = ...}\)
i tutaj już trochę głupot popisałem więc na tą chwilę jeszcze pomyślę
Jakieś wskazówki?

[Premislav]

Tylko że ten podpunkt nie jest szczególnie podobny do poprzedniego. Powinieneś już orientować się, ile to będzie \(\displaystyle{ \sum_{k={\red 0}}^{101} {101 \choose k}}\), a następnie odejmij od tego \(\displaystyle{ {101\choose 0}}\).

[aolo23]

Rzeczywiście że też na to nie wpadłem Dzięki wielkie;)
Podziękowanie musi być