Kostka do gry

[Mendzik]

Cześć,

treść zadania jest następująca:

'Iloma sposobami można rozmieścić oczka od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 6}\) na sześciennej kostce do gry jeśli:
a) wszystkie ściany kostki są pomalowane różnymi kolorami
b) wszystkie ściany kostki są takie same'

Odpowiedź do b) to chyba \(\displaystyle{ 6!}\), ale co z a)?
Proszę o pomoc

[kerajs]

Jeżeli sposób umieszczenia i (gdzie \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,2,...,6\right\}}\) ) oczek na jednej ścianie nie ma znaczenia to szukane ilości wynoszą:
a)
\(\displaystyle{ 6!}\)
b)
\(\displaystyle{ \frac{6!}{24}}\)

[Mendzik]

Wydaje mi się, że w przypadku a) to właśnie ma znaczenie

[Rafsaf]

Nieprawda, jest dobrze w a) przecież ściany są pomalowane czy też ponumerowane.

Zaś sytuacja w b) jest podobna do zadań typu rozmieszczenia osób przy okrągłym stole gdy krzesła nie są ponumerowane, wtedy gdy np gdy wszyscy przesiądą się o jedno krzesło w prawo, to otrzymujemy identyczny układ z poprzednim

Tak samo tutaj, wyobraź sobie jakąkolwiek kostkę albo weź taką do gry do ręki, 1 oczko jest na przeciw 6 oczek, a teraz zamień je miejscami: otrzymasz identyczną kostkę(bo ściany białe przeważnie), pytanie brzmi na ile sposobów można tak pozamieniać nasze oczka by otrzymać identyczną kostkę, zastanów się dlaczego to będzie właśnie

\(\displaystyle{ 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3=24}\)

[arek1357]

Przypadek b jest mniej trywialny, można ten problem postawić tak, nieco szerzej:
Ile jest niezależnych kolorowań sześcioma kolorami ścianek sześcianu (każdy kolor użyjemy raz).

I można użyć do tego celu grupy obrotów sześcianu, która zawiera 24 elementy, lub grupę wszystkich izometrii sześcianu, która zawiera 48 elementów...