Znajdź zależność rekurencyjną i wzór jawny

[Eno_]

Witam, czy mógłby ktoś wyjaśnić mi jak rozwiązywać zadania tego typu jak w temacie. Przykładowo:
ile jest ciągów binarnych długości n, które nie zawierają trzech jedynek na sąsiednich miejscach.

[kerajs]

Obawiam się, że zdecydowanie zbyt wiele oczekujesz od krótkiej odpowiedzi.

To zadanie rozwiązywałbym tak:
Niech \(\displaystyle{ a_k}\) będzie ilością ciągów o długości k .

Ile może być ciągów długości k?
Na pewno na końcu każdego ciągu k-1 elementowego mogę dopisać 0.
A mogę dopisać 1? Nie, gdyż ciąg k-1 elementowy mógł kończyć się sekwencją 11.
Ale mogę na końcu każdego ciągu k-2 elementowego mogę dopisać 01.
A mogę dopisać 11? Nie, gdyż ciąg k-2 elementowy mógł kończyć się cyfrą 1.
Oznacza to, że ciągi k elementowe kończące się na 11 otrzymam przez dopisanie sekwencji 011 do ciągów k-3 elementowych.
Mam więc ciągi k-elementowe kończące się układami (X-dowolna cyfra) : XX0, X01 i 011, czyli wszystkie dopuszczalne przez treść zadania ciągi.

Sumując powyższe dostaję zależność rekurencyjną:
\(\displaystyle{ a_k=a _{k-1}+ a _{k-2}+a _{k-3}}\)
o (wypisanych i zliczonych) warunkach początkowych:
\(\displaystyle{ a_1=2 \wedge a_2=4 \wedge a_3=7}\)

Nawet nie zamierzam próbować wyliczać wzoru jawnego tego ciągu.