Liczby Fibonacciego

[bnyh6]

Witam. Poszukuję dowodu indukcyjnego twierdzenia: \(\displaystyle{ F_{k,m+n}=F_{k,m+1}F_{k,n}+F_{k,m}F_{k,n-1}}\)

[a4karo]

A czym jest \(\displaystyle{ F_{k,n}}\)?

[bnyh6]

\(\displaystyle{ F_{k,n}=kF_{k, n-1}+F_{k,n-2}}\) ciąg określony rekurencyjnie

[Janusz Tracz]

Żeby poprawnie określić rekurencje trzeba do czegoś zacząć.

[bnyh6]

\(\displaystyle{ F_{k,m+n}=F_{k,m+1}F_{k,n}+F_{k,m}F_{k,n-1}}\)
\(\displaystyle{ F_{k,n}=kF_{k, n-1}+F_{k,n-2}}\)
\(\displaystyle{ F_{k,0}=0}\)
\(\displaystyle{ F_{k,1}=1}\)
Zaczęłam od tego, że:
1) dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ F_{k,m+1}=F_{k,m+1}F_{k,1}+F_{k,m}F_{k,0}=F_{k,m+1}}\)
2) dla \(\displaystyle{ n>1}\)
Zakładamy, że \(\displaystyle{ F_{k,m+n}=F_{k,m+1}F_{k,n}+F_{k,m}F_{k,n-1}}\) jest prawdziwe.
Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ F_{k,m+n+1}=F_{k,m+1}F_{k,n+1}+F_{k,m}F_{k,n}}\)
Dowód indukcyjny: ?