Wykaż, że punkty współliniowe

Biel124 · Post autor: **Biel124** » 11 lut 2018, o 21:59

Dany jest skończony zbiór \(\displaystyle{ S}\) punktów leżących na jednej płaszczyźnie. Prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty tego zbioru, przechodzi również przez pewien trzeci jego punkt. Udowodnij, że wszystkie te punkty są współliniowe.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 12 lut 2018, o 00:11

Spróbuj indukcyjnie.

michcior · Post autor: **michcior** » 12 lut 2018, o 00:32

Weźmy dowolne dwa punkty tej płaszczyzny. Wyznaczają one jednoznacznie pewną prostą. Wiemy, że jest jakiś szczególny punkt przez który ta prosta przechodzi.

Ok, to weźmy teraz inne dwa punkty z tej płaszczyzny. Znowu wyznaczają jednoznacznie 'inną' prostą. Ale również przechodzą przez nasz specjalny punkt.

Teraz załóżmy że te proste są różne, to zaprzeczałoby współliniowości tych punktów. Weźmy prostą przechodzącą przez punkty wybrane w pierwszym kroku i w drugim (tj. jeden z pierwszej prostej i jeden z drugiej).

Pytanie brzmi: czy ona jest jakaś szczególna, tzn. różni się od naszych prostych czy nie?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 12 lut 2018, o 16:40

Weź na początek trzy punkty, przez nie przechodzi tylko jedna prosta. Teraz załóż sobie, że jedna prosta przechodzi przez \(\displaystyle{ n}\) punktów, weź teraz punkt dodatkowy i poprowadź przez ten punkt i inny punkt na prostej prostą i co zauważasz...

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lut 2018, o 18:10

arek1357 pisze:Weź na początek trzy punkty, przez nie przechodzi tylko jedna prosta,

Dlaczego?

Chyba, że robisz dowód indukcyjny. Ale warto było by to oznajmić, nie sądzisz?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 12 lut 2018, o 20:12

Na początku zaznaczyłem, że korzystne by było zrobienie indukcji w tym zadaniu...

Biel124 · Post autor: **Biel124** » 12 lut 2018, o 22:53

Dzięki, że chcecie mnie zmusić do jakiegokolwiek myślenia, ale ja bym wolał gotowe rozwiązanie, bo mi się nie chcę. I nie za bardzo wiem, jak robić takie zadania za pomocą indukcji, bo jestem w drugiej klasie gimnazjum.

michcior · Post autor: **michcior** » 13 lut 2018, o 00:58

Z mojego rozwiązania widać wszystko, nie trzeba nic myśleć. Chwila rozgrzewki umysłowej w przerwie między oglądaniem Insta a Snapa naprawdę nie zaszkodzi.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 13 lut 2018, o 04:47

arek1357 pisze:Na początku zaznaczyłem, że korzystne by było zrobienie indukcji w tym zadaniu...

A możesz dokładnie napisać jakie jest twoje założenie indukcyjne i jak ma wyglądać krok indukcyjny?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 lut 2018, o 09:33

Normalnie, najpierw zakładam prawdziwość dla trzech punktów, a potem z założenia dla pewnych \(\displaystyle{ n}\) , wykazuję dla \(\displaystyle{ n+1}\) .

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 lut 2018, o 09:59

Ale wiesz w czym może tkwić problem? [nie widzę w Twojej wypowiedzi, czy to uwzględniasz]

Nie możesz zakładać, że zbiór \(\displaystyle{ n+1}\) punktów spełniających założenia powstaje przez dodanie jednego punktu do zbioru \(\displaystyle{ n}\) punktów spełniających założenia.
Ja bym tego nie robił indukcyjnie (dokładnie tak to widziałem, jak michcior), choć też można.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 13 lut 2018, o 12:56

A czemu sądzisz , że tak niedobrze? Nie widzę tu większych przeciwskazań, choć domyślam się co masz na myśli. Indukcja nie jest tu wydaje się głupia całkiem...

Premislav · Post autor: **Premislav** » 13 lut 2018, o 13:30

Chodzi mi o to, że tak jest dobrze: zakładamy, że dla każdych \(\displaystyle{ n}\) punktów na płaszczyźnie takich, że na prostej wyznaczonej przez pewne dwa leży też trzeci punkt z tego zbioru muszą one leżeć na jednej prostej. Bierzemy zbiór \(\displaystyle{ n+1}\) punktów spełniających warunki zadania i używamy myślenia (tylko nie wiem jak, jeśli już, to indukcja zupełna).
Natomiast tak jest źle i to bardzo: początek jak wyżej, po czym wyróżniamy jakiś punkt i używamy założenia indukcyjnego dla zbioru \(\displaystyle{ n}\) pozostałych punktów. Otóż nie wiemy automatycznie, czy ten zbiór bez jednego punktu spełnia założenia!

To chyba jeden z najczęstszych błędów w indukcji obok błędów rachunkowych i błędów wynikających z niezrozumienia zasady indukcji matematycznej (w stylu zakładanie tezy dla każdego \(\displaystyle{ n}\), udowadnianie założenia na podstawie tezy itd.).

Biel124 · Post autor: **Biel124** » 14 lut 2018, o 09:53

michcior pisze:Weźmy dowolne dwa punkty tej płaszczyzny.Wyznaczają one jednoznacznie pewną prostą. Wiemy, że jest jakiś szczególny punkt przez który ta prosta przechodzi.

Ok, to weźmy teraz inne dwa punkty z tej płaszczyzny. Znowu wyznaczają jednoznacznie 'inną' prostą. Ale również przechodzą przez nasz specjalny punkt.

Jestem głupi, ale wolę się zapytać. Dlaczego druga prosta ta musi przechodzić przez ten specjalny punkt? Co jeśli te punkty wyznaczają prostą równoległą do tej prostej albo ta prosta przecina się w innym miejscu z pierwszą prostą.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 lut 2018, o 10:45

Oczywiście, że nie. Określenia "specjalny" w tym kontekście rozumie chyba tylko autor tego "rozwiązania"