Układanie bukietu z różnych gatunków kwiatków

andrzej9991 · Post autor: **andrzej9991** » 11 lut 2018, o 18:53

Na ile sposobów można ułożyć bukiet składający się z \(\displaystyle{ 15}\) kwiatków, jeśli do dyspozycji mamy tulipany, róże, stokrotki, niezapominajki i piwonie? Wszystkich rodzajów kwiatków jest po \(\displaystyle{ 15}\), kwiatki jednego typu są nierozróżnialne. Bukietów, w których występującą inaczej rozmieszczone takie same kwiatki nie traktujemy jako różne.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 11 lut 2018, o 19:29

ilość bukietów z jednego gatunku kwiatów: \(\displaystyle{ 5}\)
ilość bukietów z dwóch gatunków kwiatów: \(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot {14 \choose 1}}\)
ilość bukietów z trzech gatunków kwiatów: \(\displaystyle{ {5 \choose 3} \cdot {14 \choose 2}}\)
ilość bukietów z czterech gatunków kwiatów: \(\displaystyle{ {5 \choose 4} \cdot {14 \choose 5}}\)
ilość bukietów z pięciu gatunków kwiatów: \(\displaystyle{ {14 \choose 4}}\)

studciak123 · Post autor: **studciak123** » 12 lut 2018, o 21:19

Dlaczego jak wybierasz na przykład bukiety złozone z 2 rodzajów kwiatów to mnożysz to przez \(\displaystyle{ {14 \choose 1}}\)?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 lut 2018, o 09:52

ilość bukietów z dwóch gatunków kwiatów: \(\displaystyle{ {5 \choose 2}{14 \choose 1}}\)

\(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) tu wybieram dwa gatunki kwiatów z pięciu możliwych
\(\displaystyle{ {14 \choose 1}}\) tu zliczam ilość różnych bukietów w których są dokładnie dwa gatunki kwiatów. Są to zestawy: \(\displaystyle{ (1,14),(2,13),(3,12),....,(14,1)}\)

Analogicznie są liczone kolejne przypadki.

Oczywiście, zadanie można rozwiązywać inaczej,choćby używając włączeń i wyłączeń. Jednak powyższe rozwiązanie wydaje mi się przejrzyste i proste.

andrzej9991 · Post autor: **andrzej9991** » 13 lut 2018, o 21:54

kerajs pisze:
ilość bukietów z dwóch gatunków kwiatów: \(\displaystyle{ {5 \choose 2}{14 \choose 1}}\)
\(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) tu wybieram dwa gatunki kwiatów z pięciu możliwych
\(\displaystyle{ {14 \choose 1}}\) tu zliczam ilość różnych bukietów w których są dokładnie dwa gatunki kwiatów. Są to zestawy: \(\displaystyle{ (1,14),(2,13),(3,12),....,(14,1)}\)

Analogicznie są liczone kolejne przypadki.

Oczywiście, zadanie można rozwiązywać inaczej,choćby używając włączeń i wyłączeń. Jednak powyższe rozwiązanie wydaje mi się przejrzyste i proste.

To dlaczego \(\displaystyle{ {14 \choose 1}}\) a nie \(\displaystyle{ {15 \choose 1}}\)?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 lut 2018, o 23:14

Wersja 1)
W szeregu mam 15 miejsc na kwiaty, a miedzy nimi 14 przerw. Te z lewej będą gatunku A, od prawej gatunku B. Ile będzie możliwych układów z tych dwóch gatunków kwiatów? Tyle ile jest możliwych wyborów przerwy (z 14 możliwych) między kwiatkami. \(\displaystyle{ {14 \choose 1}}\)
Wersja 2)
Skoro bukiet ma być dwugatunkowy to jeden z kwiatów jest gatunku A i jeden z gatunku B.
Na ile sposobów można przyporządkować jeden z gatunków pozostałym 15-2=13 kwiatom? Tyle ile wskaże kombinacja (k=13, n=2) z powtórzeniami: \(\displaystyle{ {13+2-1 \choose 13}}\)

Wyniki są identyczne bo:
\(\displaystyle{ {13+2-1 \choose 13} = {14 \choose 13}= {14 \choose 14-1}= {14 \choose 1}}\)

Ukryta treść:

andrzej9991 · Post autor: **andrzej9991** » 13 lut 2018, o 23:40

Bardzo dziękuję za wyczerpującą odpowiedź, teraz wszystko jasne!

Matematyka.pl