Pytanie dotyczące stanów w Łańcuchu Markowa

[Vince221]

Otóż mam pytanie dotyczące obliczania stanów w łańcuchu Markowa. Mam grę w której jest \(\displaystyle{ 4}\) graczy i rzucają kostką. Jeżeli gracz wyrzuci \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) oczka, to kostka przechodzi do gracza po lewej stronie, jeżeli gracz wyrzuci \(\displaystyle{ 3,4,5,6}\) oczek kostka przechodzi w prawą stronę.

Macierz prawdopodobieństwa przejść:

\(\displaystyle{ P = \begin{bmatrix}
&0 &\frac{2}{6} &0 &\frac{4}{6}\\
&\frac{4}{6} &0 &\frac{2}{6} &0 \\
&0 &\frac{4}{6} &0 &\frac{2}{6}\\
&\frac{2}{6} &0 &\frac{4}{6} &0
\end{bmatrix}}\)

Później muszę transponować macierz \(\displaystyle{ P}\) i odjąć macierz jednostkową i otrzymuję:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
&-1 &\frac{4}{6} &0 &\frac{2}{6}\\
&\frac{2}{6} &-1 &\frac{4}{6} &0 \\
&0 &\frac{2}{6} &-1 &\frac{4}{6}\\
&\frac{4}{6} &0 &\frac{2}{6} &-1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
&\pi_{1}\\
&\pi_{2}\\
&\pi_{3}\\
&\pi_{4}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
&0\\
&0\\
&0\\
&0
\end{bmatrix}}\)

Mogę wykreślić ostatni wiersz i zastąpić go jedynkami więc finalnie otrzymuję takie równanie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
&-1 &\frac{4}{6} &0 &\frac{2}{6}\\
&\frac{2}{6} &-1 &\frac{4}{6} &0 \\
&0 &\frac{2}{6} &-1 &\frac{4}{6}\\
&1 &1 &1 &1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
&\pi_{1}\\
&\pi_{2}\\
&\pi_{3}\\
&\pi_{4}
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}
&0\\
&0\\
&0\\
&1
\end{bmatrix}}\)

I jak robię to wzorami Cramera, to wyznacznik główny wychodzi mi \(\displaystyle{ 21}\) , a później podwyznacznik jeden \(\displaystyle{ -50}\) .

A wiem, że wszystkie \(\displaystyle{ \pi}\) w sumie muszą dać mi \(\displaystyle{ 1}\) , a tutaj już będzie \(\displaystyle{ -\frac{50}{21}}\) i dalsze wyniki nie sumują się, aby dać \(\displaystyle{ 1}\) .

Czy ktoś podpowie gdzie robię błąd, albo jak to zrobić inaczej?