Pasażerowie i wagony

[Ania221]

Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ 6}\) pasażerów wsiądzie do \(\displaystyle{ 3}\) wagonów tak, że żaden wagon nie zostanie pusty?

\(\displaystyle{ \Omega=3^6}\)
Nie mogę sobie poradzić ze zbiorem A takim, że żaden wagon nie zostanie pusty
\(\displaystyle{ A=3^6 -3}\) to chyba nie...

[Premislav]

Nie umiem kombinatoryki, ale to można zrobić stosując zasadę włączeń i wyłączeń.
Możliwości, w których pierwszy wagon będzie pusty jest \(\displaystyle{ 2^6}\) (bo zostają do wyboru tylko dwa wagony), podobnie drugi i trzeci, natomiast takich, w których np. drugi i trzeci wagon będą puste, mamy \(\displaystyle{ 1^6=1}\) (wszystkich wtedy wrzucamy do pierwszego wagonu). Zatem
na \(\displaystyle{ 2^6+2^6+2^6-{3 \choose 1}1^6=3(2^6-1)}\) sposobów możemy tak rozmieścić pasażerów, by co najmniej jeden wagon był pusty. Czyli na
\(\displaystyle{ 3^6-3(2^6-1)}\) sposobów możemy tak rozmieścić pasażerów, by żaden wagon pustym nie był.
Stąd szukane prawdopodobieństwo wynosi
\(\displaystyle{ \frac{3^6-3(2^6-1)}{3^6}}\)

Inaczej można to rozwiązać z pomocą liczb Stirlinga II rodzaju. Natomiast nad zupełnie szkolnym rozwiązaniem mi się nie chce myśleć, szkołę już dawno skończyłem.-- 2 lut 2018, o 17:38 --Tutaj masz o zasadzie włączeń i wyłączeń, idea jest prosta:
... 5cze%C5%84

[Richard del Ferro]

Dzielisz \(\displaystyle{ 6}\) elementowy zbiór na \(\displaystyle{ 3}\) niepuste pozdbiory.

Liczba Stirlinga drugiego rodzaju dla \(\displaystyle{ n=6}\) i \(\displaystyle{ k=3}\)

Potem każdemu pociągowi przyporządkowujesz każdy niepusty podzbiór. To da się zrobić jako wariacje bez powtórzeń \(\displaystyle{ n}\) elementowa z \(\displaystyle{ n}\) elementowego zbioru czyli permutacja bez powtórzeń stąd \(\displaystyle{ 3!}\)

Tych kombinacji jest \(\displaystyle{ 90 \cdot 6=540}\)


Każdy pasażer może wybrać dowolny pociąg, stąd \(\displaystyle{ 3 \cdot 3 \cdot ...=3^{6}}\)

Szukane prawdopodobieństwo to

\(\displaystyle{ \frac{390}{729} = \frac{130}{243}}\)

[kinia7]

Wybieramy trzech pasażerów na \(\displaystyle{ {6 \choose 3} =20}\) sposobów
każdego z nich „wkładamy” do innego wagonu
pozostałych trzech „wkładamy” na \(\displaystyle{ 3^3=27}\) sposobów
łącznie mamy \(\displaystyle{ 20\cdot27=540}\) sposobów

[Ania221]

Dzięki bardzo.
W zbiorze jest błędna odpowiedź... ta druga, i już też trzecią znalazłam błędną.-- 2 lut 2018, o 19:58 --A dlaczego tu jest odejmowanie?
\(\displaystyle{ 2^6+2^6+2^6-{3 \choose 1}1^6}\)
ja to robilam tak
\(\displaystyle{ 3 \cdot (2^6-2)+3}\) wynik jest taki sam, ale inny sposób rozumowania inny

[pesel]

Jakie jest prawdopodobieństwo, że 6 pasażerów wsiądzie do 3 wagonów tak, że żaden wagon nie zostanie pusty?

Jak faktycznie wsiądą do trzech wagonów to prawdopodobieństwo wynosi jeden. No bo czy jak wsiądą tylko do dwóch albo jednego to można o nich powiedzieć, że pasażerowie wsiedli do trzech wagonów o czym mowa w treści zadania?

[arek1357]

szkołę już dawno skończyłem.

Gratuluję bo mnie wylali...

A tu suriekcje i nie kombinujcie...

Do opery wchodzimy w smokingu a nie w kufajce...