Rozmieszczanie osób w pokojach + liczby Stirlinga II rodzaju

[Wektor75B34]

Męczę się z zadaniem z kolokwium i chciałbym żeby ktoś zweryfikował mój sposób myślenia, mianowicie:
"Pewien baca w Zakopanem wynajmuje w swojej bacówce 4 ponumerowane pokoje. Na ile sposobów może on w tych pokojach zakwaterować 6 osób przy założeniu, że
(a) w każdym pokoju będzie zakwaterowana co najmniej jedna osoba?
(b) w grupie są trzej mężczyźni, którzy będą zakwaterowani razem w jednym pokoju, a kobiety mogą być rozlokowane w dowolny sposób w pozostałych pokojach?"

a) Tutaj od razu widać że rozdzielamy 6 osób na 4 niepuste podzbiory - zatem korzystamy z liczb Stirlinga II rodzaju, a następnie przypisujemy podzbiory do 4 pokoi na 4! sposobów
\(\displaystyle{ S(6,4) * 4! = 1560}\)

b) Z tym podpunktem mam mały kłopot. Najpierw wybieramy pokój dla mężczyzn na 4 sposoby a potem... ?
Osoby są rozróżnialnymi elementami, zatem możliwe podziały to

kobiety \(\displaystyle{ = {a, b, c}}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c)}\) - trzyelementowy zbiór który można rozlokować na 1 sposób
\(\displaystyle{ (a)(b)(c)}\) - trzy jednoelementowe, można je rozlokować na 3! sposoby

\(\displaystyle{ (a,b)(c)}\)
\(\displaystyle{ (a,c)(b) \right\}}\) każdy z tych wariantów można rodzielić na 6 sposobów , zatem 6*3
\(\displaystyle{ (b,c)(a)}\)

Wtedy wychodzi mi \(\displaystyle{ 4*(1+3!+18) = 100}\) sposobów, jednak oprócz tego że to mało elegancki sposób rozwiązania zadania, nie jestem nawet pewny czy wychodzi poprawny wynik. Współlokator mówił coś o liczbie wariacji z powtórzeniami, jednak osoby w pokojach nie są uporządkowane. Zweryfikuje ktoś mój sposób liczenia?

[arek1357]

W a nie korzystaj z liczb Stirlinga tylko z suriekcji:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{4}(-1)^{4-i} {4 \choose i}i^6}\)

W b) nie trzeba , żeby każdy pokój był zajęty więc powinno być:

\(\displaystyle{ 4 \cdot 3^3}\)

A jeżeli każdy pokój ma być zajęty to będzie:

\(\displaystyle{ 4 \cdot \sum_{i=1}^{3}(-1)^{3-i} {3 \choose i}i^3}\)