Proszę o sprawdzenie rachunków i wyniku. Mam wyznaczyć ciąg tworzący podane funkcje:
a)
\(\displaystyle{ \frac{z^4}{2-6z} + z^3 + 12 = \frac{1}{2} * \frac{z^4}{1-3z} + z^3 +12}\)
\(\displaystyle{ b_0 = z^4}\)
\(\displaystyle{ q = 3z}\)
Rozpisuję sobie ciąg:
\(\displaystyle{ 12 + z^3 + \frac{1}{2}z^4 + \frac{1}{2}z^4(3z) + \frac{1}{2}z^4(3z)^2... =}\)
\(\displaystyle{ = 12 + z^3 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot z^4 + \frac{1}{2}3z^5 + \frac{1}{2}9z^6... =}\)
Zatem ciąg wygląda:
\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 12 \text{ dla } n=0 \\ 0 \text{ dla } n=1,2 \\ 1 \text{ dla } n=3 \\ \frac{1}{2}3^{n-4} \text{ dla } n \ge 4\end{cases}}\)
b)
\(\displaystyle{ a_n = 1 + \frac{ \frac{1}{6} }{1-3z^2}}\)
Wyznaczam:
\(\displaystyle{ b_0 = \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ q = 3z^2}\)
\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{6} + 3z^2 + (3z^2)^2 + (3z^2)^3 + ... =}\)
\(\displaystyle{ = 1\frac{1}{6} + 3z^2 + 3^2z^4 + 3^3z^6}\)
Zatem ciąg:
\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 1\frac{1}{6} \text{ dla } n=0 \\ 0 \text{ dla } n=1 \\ 3^{ \frac{n}{2} } \text{ dla } n \ge 2 \end{cases}}\)