Funkcja tworzaca

[BigPaws]

Prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze robię:

\(\displaystyle{ a^{n} = (-2)^{2n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2 a_{0} = 0, a_{1} = 10}\)

\(\displaystyle{ A(z) = 0 + 10z + (-2)^3 z^2 + (-2)^5 z^3 + (-2)^7 z^4 ...}\)

\(\displaystyle{ b = (-2)^3 z^2}\)

\(\displaystyle{ q = \frac{(-2)^5 z^3}{(-2)^3 z^2} = (-2)^2 z}\)

Kontynuujac:
\(\displaystyle{ = 10z + \frac{-8z^2}{1-4z}}\)


Czy robię to dobrze i w "dozwolony" sposób? Jeśli tak to podałbym jeszcze 1-2 przykłady do sprawdzenia jeśli można

[Janusz Tracz]

Póki co to tylko tabliczka ze znaczkami nie wiadomo co jest co. Więc po kolei szukasz funkcji tworzącej ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) zdefiniowanego następująco:

\(\displaystyle{ a_n= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ n=0 \\ 10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ n=1\\ (-2)^{2n-1}\ \text{dla}\ n \ge 2 \end{cases}}\)

Dla uproszczenia zauważ od razu że

\(\displaystyle{ a_n= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ n=0 \\ 10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{dla}\ n=1\\ - \frac{1}{2} \cdot 4^{n}\ \ \ \ \text{dla}\ n \ge 2 \end{cases}}\)

Teraz z definicji funkcji tworzącej dla ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) mamy

jest:

\(\displaystyle{ A(z)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_nz^n=10z- \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{ \infty }4^nz^n=10z- \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{ \infty }(4z)^n=10z+ \frac{8z^2}{4z-1}}\)

było (zgubiłem literkę):

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A(z)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_nz^n=10z- \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{ \infty }4^nz^n=10z- \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{ \infty }(4z)^n=10+ \frac{8z^2}{4z-1}}\)

No i koniec. Można jeszcze wspomnieć że ostatnia równość jest konsekwencją wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

[BigPaws]

Nie jestem pewny czy wiem co się skąd bierze. Wyniki mamy podobne, ale u Ciebie z \(\displaystyle{ 10z}\) zrobilo sie \(\displaystyle{ 10}\), minus zmienił się w plusa i zamieniłeś również znaki w \(\displaystyle{ 1-4z}\)

[Janusz Tracz]

Faktycznie zgubiłem \(\displaystyle{ z}\) na samym końcu. Ale minusy się zgadają napisałem w innej kolejności. Zrobiłeś dobrze tylko z opisem słabo.

[BigPaws]

To może dam jeszcze jeden przykład i postaram się go ładniej zapisać, bo do tej pory wszystkie mam tak rozgrzebane. Nie jestem oczywiście też pewien rozwiązania, bo tego typu zadania nie robiliśmy więc biorę go na własną logikę:

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 3n, n=4\\ (-5)^ \frac{n}{2}, n \neq 4, \text{ dla n parzystych} \\ 0, \text{pozostale n} \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ A(z) = (-5)^0 + 0z + (-5)^1 z^2 + 0z^3 + 12z^4 + 0z^5 + (-5)^3 z^6}\)

Zatem zapisując ładniej wychodzi mi:

\(\displaystyle{ 1 -5z^2 + 12z^4 + \sum_{}^{} -5^ \frac{n}{2} z^n}\)

Teraz obliczam sumę ciągu (tu znowu chyba po swojemu mi się wydaje...)

\(\displaystyle{ b = (-5)^3 z^6}\)

\(\displaystyle{ q = \frac{(-5)^4 z^8}{(-5)^3 z^6} = -5z^2}\)

Zatem wzór ostatecznie:

\(\displaystyle{ 1 -5z^2 + 12z^4 - \frac{125z^6}{5z^2 + 1}}\)

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 3n, n=4\\ (-5)^ \frac{n}{2}, n \neq 4, n parzystych \\ 0, pozostale n \end{cases}}\)

A czy ta definicja tego ciągu na pewno tak wygląda? Bo \(\displaystyle{ a_1=(-5)^{ \frac{1}{2} }}\) czyli coś jest nie tak.

[BigPaws]

\(\displaystyle{ a_1 = 0}\), drugi wzór zachodzi dla n parzystych, spacja mi umknęła i może przeczytałeś jako "n nieparzystych". Edytowałem post, umknął mi znacznik /text