Usadzenie w ławkach

[planc]

Na ile sposobów można usadzić osiem osób na pięciu ławkach przy założeniu, że żadna ławka nie jest pusta oraz, że na ławce może usiąść dowolna ilość osób oraz:

1) ławki są rozróżnialne i nie ma znaczenia kto siedzi obok kogo
2) ławki są nierozróżnialne i ważny jest sposób usadzenia osób w ławkach


Moim zdaniem bez założeń 1 i 2 takich możliwych usadzeń byłoby \(\displaystyle{ 5^{8}}\), gdyby nie to, że żadna ławka nie może być pusta. Mógłby ktoś pomóc?

[Richard del Ferro]

Najpierw wybierasz \(\displaystyle{ 5}\) osób, żeby obsadzić ławki pojedynczo, tak, ażeby żadna nie była pusta.

\(\displaystyle{ {8 \choose 5}}\)

Zostały Ci \(\displaystyle{ 3}\) osoby, każda może wybrać dowolną ławkę, a więc \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}}\)

To taki wstęp, resztę polecenia powinieneś zrobić.

[Belf]

Najpierw wybierasz \(\displaystyle{ 5}\) osób, żeby obsadzić ławki pojedynczo, tak, ażeby żadna nie była pusta.

\(\displaystyle{ {8 \choose 5}}\)

Przecież każda z tych pięciu osób też moze usiąść na dowolnej ławce.

[Richard del Ferro]

To taki wstęp

[arek1357]

To taki wstęp

A raczej mało udany występ...

[planc]

W A) muszę po prostu podzielić 8-elementowy zbiór na 5 rozłącznych niepustych podzbiorów, liczbę takich podziałów mnożę przez \(\displaystyle{ 5!}\), bo na tyle sposobów mogę poukładać te ławki w kolejności, czy tak?

[arek1357]

W pierwszym masz suriekcję.

wzór na suriekcję masz;

\(\displaystyle{ N= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{n-i} {n \choose i}i^m}\)

Gdzie u ciebie:

\(\displaystyle{ m=8, n=5}\)


W drugim skoro ławki są nierozróżnialne a ludzie tak i ważne jest jak usiądą na nierozróżnialnych ławkach, najpierw musisz dokonać podziału, czyli jak osoby siedzą na nierozróżnialnych ławkach, a mianowicie może to być:

\(\displaystyle{ (4)(1)(1)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.

Co oznacza, na jednej ławce siedzi 4 osoby , na pozostałych po jednej
(specjalnie nie używam słowa na pierwszej czy drugiej...)



\(\displaystyle{ (3)(2)(1)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.

Co oznacza, na jednej ławce siedzi 3 osoby, na drugiej 2 , na pozostałych po jednej



\(\displaystyle{ (2)(2)(2)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.

Co oznacza, na trzech ławkach siedzi po dwie osoby a na dwóch po jednej.



Teraz nie zapomnij, że w każdym z tych przypadków musisz wykonać permutację ponieważ ważne jest jak się przesiadają...