Na ile sposobów można usadzić osiem osób na pięciu ławkach przy założeniu, że żadna ławka nie jest pusta oraz, że na ławce może usiąść dowolna ilość osób oraz:
1) ławki są rozróżnialne i nie ma znaczenia kto siedzi obok kogo
2) ławki są nierozróżnialne i ważny jest sposób usadzenia osób w ławkach
Moim zdaniem bez założeń 1 i 2 takich możliwych usadzeń byłoby \(\displaystyle{ 5^{8}}\), gdyby nie to, że żadna ławka nie może być pusta. Mógłby ktoś pomóc?
Usadzenie w ławkach
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Usadzenie w ławkach
Najpierw wybierasz \(\displaystyle{ 5}\) osób, żeby obsadzić ławki pojedynczo, tak, ażeby żadna nie była pusta.
\(\displaystyle{ {8 \choose 5}}\)
Zostały Ci \(\displaystyle{ 3}\) osoby, każda może wybrać dowolną ławkę, a więc \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}}\)
To taki wstęp, resztę polecenia powinieneś zrobić.
\(\displaystyle{ {8 \choose 5}}\)
Zostały Ci \(\displaystyle{ 3}\) osoby, każda może wybrać dowolną ławkę, a więc \(\displaystyle{ 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3}}\)
To taki wstęp, resztę polecenia powinieneś zrobić.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Re: Usadzenie w ławkach
Richard del Ferro pisze:Najpierw wybierasz \(\displaystyle{ 5}\) osób, żeby obsadzić ławki pojedynczo, tak, ażeby żadna nie była pusta.
\(\displaystyle{ {8 \choose 5}}\)
Przecież każda z tych pięciu osób też moze usiąść na dowolnej ławce.
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Re: Usadzenie w ławkach
W A) muszę po prostu podzielić 8-elementowy zbiór na 5 rozłącznych niepustych podzbiorów, liczbę takich podziałów mnożę przez \(\displaystyle{ 5!}\), bo na tyle sposobów mogę poukładać te ławki w kolejności, czy tak?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Usadzenie w ławkach
W pierwszym masz suriekcję.
wzór na suriekcję masz;
\(\displaystyle{ N= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{n-i} {n \choose i}i^m}\)
Gdzie u ciebie:
\(\displaystyle{ m=8, n=5}\)
W drugim skoro ławki są nierozróżnialne a ludzie tak i ważne jest jak usiądą na nierozróżnialnych ławkach, najpierw musisz dokonać podziału, czyli jak osoby siedzą na nierozróżnialnych ławkach, a mianowicie może to być:
\(\displaystyle{ (4)(1)(1)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.
Co oznacza, na jednej ławce siedzi 4 osoby , na pozostałych po jednej
(specjalnie nie używam słowa na pierwszej czy drugiej...)
\(\displaystyle{ (3)(2)(1)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.
Co oznacza, na jednej ławce siedzi 3 osoby, na drugiej 2 , na pozostałych po jednej
\(\displaystyle{ (2)(2)(2)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.
Co oznacza, na trzech ławkach siedzi po dwie osoby a na dwóch po jednej.
Teraz nie zapomnij, że w każdym z tych przypadków musisz wykonać permutację ponieważ ważne jest jak się przesiadają...
wzór na suriekcję masz;
\(\displaystyle{ N= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{n-i} {n \choose i}i^m}\)
Gdzie u ciebie:
\(\displaystyle{ m=8, n=5}\)
W drugim skoro ławki są nierozróżnialne a ludzie tak i ważne jest jak usiądą na nierozróżnialnych ławkach, najpierw musisz dokonać podziału, czyli jak osoby siedzą na nierozróżnialnych ławkach, a mianowicie może to być:
\(\displaystyle{ (4)(1)(1)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.
Co oznacza, na jednej ławce siedzi 4 osoby , na pozostałych po jednej
(specjalnie nie używam słowa na pierwszej czy drugiej...)
\(\displaystyle{ (3)(2)(1)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.
Co oznacza, na jednej ławce siedzi 3 osoby, na drugiej 2 , na pozostałych po jednej
\(\displaystyle{ (2)(2)(2)(1)(1)}\) - liczysz ile jest takich podziałów.
Co oznacza, na trzech ławkach siedzi po dwie osoby a na dwóch po jednej.
Teraz nie zapomnij, że w każdym z tych przypadków musisz wykonać permutację ponieważ ważne jest jak się przesiadają...