Podaj dwie ostanie cyfry*
-
studciak123
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 19 lis 2017, o 17:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: A kto to wie
- Podziękował: 11 razy
Podaj dwie ostanie cyfry*
Podaj dwie ostanie cyfry liczby \(\displaystyle{ 9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}}\) w rozwinięciu dziesiętnym.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Podaj dwie ostanie cyfry*
Mamy \(\displaystyle{ 9^{10}=(10-1)^{10}\equiv 1\pmod{100}}\) (np. ze wzoru dwumianowego Newtona).
Wykładnik, czyli \(\displaystyle{ 8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}\), może dawać resztę \(\displaystyle{ 2,\ 4, \ 6, \ 8}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\) (*)
Zauważ, że \(\displaystyle{ 7^{2k}\equiv 1\pmod{8}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\)
Ponadto \(\displaystyle{ 8^{8}\equiv 1 \pmod{5}}\), stąd dla dowolnego \(\displaystyle{ m\in \NN}\) jest
\(\displaystyle{ 8^{8m+1}\equiv 3 \pmod{5}}\)
Łącząc te fakty, otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ 8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}\equiv 3\pmod{5}}\)
, a więc z uwagi na (*) jest
\(\displaystyle{ 8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}\equiv 8\pmod{10}}\),
czyli
\(\displaystyle{ 9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}\equiv 9^{8}\pmod{100}}\).
No i znowu wzór dwumianowy Newtona (\(\displaystyle{ 9^8=(10-1)^8}\) itd.) załatwia sprawę, wszystkie składniki rozwinięcia oprócz przedostatniego i ostatniego będą podzielne przez \(\displaystyle{ 100}\), i już łatwo uzyskujemy, że \(\displaystyle{ 9^8\equiv 21\pmod{100}}\), czyli też \(\displaystyle{ 9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}\equiv 21\pmod{100}}\).
Wykładnik, czyli \(\displaystyle{ 8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}\), może dawać resztę \(\displaystyle{ 2,\ 4, \ 6, \ 8}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 10}\) (*)
Zauważ, że \(\displaystyle{ 7^{2k}\equiv 1\pmod{8}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in \NN}\)
Ponadto \(\displaystyle{ 8^{8}\equiv 1 \pmod{5}}\), stąd dla dowolnego \(\displaystyle{ m\in \NN}\) jest
\(\displaystyle{ 8^{8m+1}\equiv 3 \pmod{5}}\)
Łącząc te fakty, otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ 8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}\equiv 3\pmod{5}}\)
, a więc z uwagi na (*) jest
\(\displaystyle{ 8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}\equiv 8\pmod{10}}\),
czyli
\(\displaystyle{ 9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}\equiv 9^{8}\pmod{100}}\).
No i znowu wzór dwumianowy Newtona (\(\displaystyle{ 9^8=(10-1)^8}\) itd.) załatwia sprawę, wszystkie składniki rozwinięcia oprócz przedostatniego i ostatniego będą podzielne przez \(\displaystyle{ 100}\), i już łatwo uzyskujemy, że \(\displaystyle{ 9^8\equiv 21\pmod{100}}\), czyli też \(\displaystyle{ 9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}\equiv 21\pmod{100}}\).