Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n.

[studciak123]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieja liczba podzielna przez \(\displaystyle{ n}\), której zapis dziesiętny jest złożony z samych jedynek i zer.

[Premislav]

Mnie się to natychmiast kojarzy z tym wątkiem.

Ustalmy \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\). Popatrzmy na liczby
\(\displaystyle{ 1, \ 11, \ 111, \ldots \underbrace{1\ldots 1}_{n+1}}\)
Mamy tylko \(\displaystyle{ n}\) możliwych reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\): od zera do \(\displaystyle{ n-1}\).
na powyższej liście występuje \(\displaystyle{ n+1}\) liczb, zatem z zasady szufladkowej Dirichleta istnieją wśród nich takie dwie \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ a\equiv b\pmod{n}}\).
Zatem ich różnica dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\). Odejmując mniejszą od większej z tych liczb, dostaniemy liczbę, która zaczyna się pewną liczbą jedynek, a dalej ma same zera i jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\), co kończy dowód.