Ciekawa równość

[arek1357]

Udowodnij:

\(\displaystyle{ [en!]=n[e(n-1)!]+1}\)

\(\displaystyle{ \left[\right]}\) - część całkowita

Rekurencyjnie to wygląda następująco:

\(\displaystyle{ a_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}=na_{n}+1}\)

Po rozwiązaniu rekurencji, otrzymałem równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ y'= \frac{y}{x^2}- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2-x}}\)

po rozwiązaniu równania różniczkowego otrzymałem...

\(\displaystyle{ y=Ce^{- \frac{1}{x} }+e^{1- \frac{1}{x} }\left[ \gamma+\ln \left|\frac{1}{x}-1\right| + \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{\left( \frac{1}{x}-1 \right)^k }{k \cdot k!} \right] +e^{- \frac{1}{x} }\left[ \gamma+\ln \left|\frac{1}{x}\right| + \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{k \cdot k! \cdot x^k} \right]}\)

A teraz strach się bać rozwijać tę funkcję w szereg potęgowy...

Jeżeli ta równość byłaby prawdziwa to ciąg nasz miałby postać:

\(\displaystyle{ a_{n}=\left[ e(n-1)!\right]}\)

a nasza funkcja miałaby postać:

\(\displaystyle{ y= \sum_{n=1}^{ \infty } \left[ e(n-1)!\right]x^n}\)

Dziwne...

[Premislav]

\(\displaystyle{ a_{1}=1\\

a_{n+1}=na_{n}+1}\)

Nie, w równaniu rekurencyjnym powinno być
\(\displaystyle{ a_{n+1}=(n+1)a_{n}+1}\)

Zamiast bawić się w równania różniczkowe i rozwijanie w szeregi potęgowe (nie przeczę, że ma to swój urok), można by popatrzeć na to tak: znany jest dowód, że
\(\displaystyle{ e= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+ \frac{\theta_n}{n\cdot n!}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ \theta_n\in (0,1)}\).
Zatem \(\displaystyle{ en!=n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\frac{\theta_n}{n}}\)
a także
\(\displaystyle{ e(n-1)!=(n-1)! \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k!}+\frac{\theta_{n-1}}{n-1}}\).

Stąd lewa strona Twojej równości, jak nietrudno już się przekonać, jest równa
\(\displaystyle{ n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}}\), zaś prawa wynosi
\(\displaystyle{ n!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}+\frac{n!}{n!}=n! \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}}\)
tak, jak chcieliśmy. Dowód wspomnianego szacowania masz na wiki, miałem go też na pierwszym semestrze studiów: opiera się on na spostrzeżeniu, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{n!}{(n+k)!} < \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{(n+1)^k} =\frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n}}\)

[ciach]

[bakala12]

Zamiast bawić się w równania różniczkowe i rozwijanie w szeregi potęgowe (nie przeczę, że ma to swój urok), można by popatrzeć na to tak: znany jest dowód, że
\(\displaystyle{ e= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}+ \frac{\theta_n}{n\cdot n!} \ dla \ pewnych \ \theta_n\in (0,1)}\).

Zabawny jest fakt, że tak naprawdę skorzystałeś z rozwinięcia \(\displaystyle{ e^x}\) w szereg Taylora

[arek1357]

No tak wszystko ładnie wygląda ma swój urok , z jakiej strony by na to nie patrzył ciąg jest ładny i ciekawy... warty żeby się nad tym pochylić choćby ze względów dydaktycznych...


A czy jest jaka§ ciekawa interpretacja tego ciągu coś jak z Fibonacciego, który jak wiadomo ma bardzo szerokie spektrum znaczeń...