Wykaż prawdziwość tożsamości

[MisiekD]

Witam,
mam problem z kilkoma zadaniami. Proszę o pomoc
Polecenie:
Wykaż prawdziwość tożsamości:
\(\displaystyle{ a) {n \choose k+2} {k \choose p} = {n \choose p} {n-p \choose k+2-p}}\)
b) \(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{p}{k} {p-1 \choose k-1}}\)
c) \(\displaystyle{ {p \choose k} = {p-1 \choose k} + {p-1 \choose k-1}}\)

[Richard del Ferro]

Nie bój się rozpisać obu stron,
bazując na wzorze

\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\) po prostu w miejsce \(\displaystyle{ n}\) wstaw to co zadane, tak samo z podstawieniem pod \(\displaystyle{ k}\).
Pamiętaj, także co to jest silnia.

\(\displaystyle{ n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}\)

Aha i przyjrzałbym się, czy dobrze przepisałeś, bo np w podpunkcie b)
Z lewej strony mamy zależność od
\(\displaystyle{ n}\)
a z prawej od
\(\displaystyle{ p}\)

Tożsamość z tego nie może wyjść.

Silnie się poskracają bazując na jej definicji,
np.
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-1)!} =n}\)

\(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-2)!} =n \cdot (n-1)}\)

Doprowadź wszystko do wspólnego mianownika i na pewno wyjdzie, to elementarne przekształcenia

[arek1357]

b.). jest fałszywe...

[MisiekD]

Właśnie rozpisywałem te zadania. W każdy z podpunktów zatrzymuje się na pewnym etapie i nie ma co z czym się skrócić :/ Naprawdę, nie mam pojęcia, dlaczego tak wychodzą. Sądzę, że może jakiś wzór? Trochę nad tym siedziałem, ale niestety mam problem :/ Przykład a) jest z kolokwium i nie wiem czy komukolwiek udało się je rozwiązać.

Być może za chwilkę rozpiszę przykłady, w których etapach się zatrzymałem.


c) \(\displaystyle{ {p \choose k} = {p-1 \choose k} + {p-1 \choose k-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{p!}{k!(p-k)!} = \frac{(p-1)!+(p-1)!*k(p-k-1)}{k!(p-k-1)!}}\)

[Premislav]

W przykładzie b) (oryginalnie c)) powinno być:
\(\displaystyle{ {p \choose k} = \frac{p}{k} {p-1 \choose k-1}}\). To co jest napisane to bzdura.

Przykład c) można zrobić też przy pomocy interpretacji kombinatorycznej:
wybierasz \(\displaystyle{ k}\) spośród \(\displaystyle{ p}\) osób (\(\displaystyle{ k\le p, p\in \NN, k \in \NN}\)) do reprezentacji Polski w obrażaniu papieża. Z jednej strony ze szkoły wiemy, że możesz zrobić to na \(\displaystyle{ {p \choose k}}\) sposobów, z drugiej strony powiedzmy, że wyróżniłeś w tej grupie jakąś konkretną osobę. Rozważ, ile jest wyborów reprezentacji takich, że ta wyróżniona osoba wejdzie w jej skład, a ile jest takich, że ta osoba nie weźmie udziału w szkalowaniu pontifeksa. Ile to będzie łącznie?-- 10 sty 2018, o 02:56 --A co do równości
\(\displaystyle{ {n \choose k}{k\choose j}={n \choose j}{n-j \choose k-j}}\), to bez przesady, jak pisał Richard del Ferro, rozpisujesz na silnie, skracasz i do widzenia.

[MisiekD]

\(\displaystyle{ a) {n \choose k+2} {k \choose p} = {n \choose p} {n-p \choose k+2-p}}\)

A równość b) z obrazka wyszła mi bez problemów. To jedyny przykład, z którym nie mam problemu.

Przykład a) z zadania:
\(\displaystyle{ a) {n \choose k+2} {k \choose p} = {n \choose p} {n-p \choose k+2-p}}\)
\(\displaystyle{ \frac{k!}{(k+2)!(k-p)!} = \frac{1}{(k+2-p)!}}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ {n \choose k+2} {k \choose p} = {n \choose p} {n-p \choose k+2-p}}\)
to też nie jest w ogólności prawda, weź \(\displaystyle{ p=1, k=2, n=4}\) i dostaniesz coś nieprawdziwego.

Przekształciłeś to poprawnie, ale po prostu są trzy rodzaje prawd, jak pisał ksiądz Tischner, i teza zadania należy do „tej trzeciej" kategorii (g**** prowda).

[MisiekD]

No to mnie pocieszacie :/ Masakra, czasami coś trafia jak siedzę nad zadaniami, a te nie wychodzą.

[arek1357]

Nastąpiła również permutacja (przekształcenie) przykładów z \(\displaystyle{ (abc)}\) na \(\displaystyle{ (bcd)}\) .

Można się w tym bałaganie pogubić...