Pionki na szachownicy

[Szymeq]

Pionki są rozmieszczone na szachownicy 2013x2011, każdy na 1 polu. Czy można je tak poprzestawiać, aby każdy pionek stał na polu sąsiadującym bokiem z polem, które zajmował i żeby wciąż na każdym polu stał 1 pionek?

[kerajs]

Skoro piony z pól czarnych stawiasz na polach białych, i vice-versa, to warto wiedzieć ile jest pól czarnych, a ile białych.

[Szymeq]

Tego właśnie nie rozumiem. Czyli mam te 4048143 pola. Skąd mam wiedzieć ile jest czarnych, a ile białych?

[kerajs]

Jest \(\displaystyle{ 2n+1}\) pól z których \(\displaystyle{ n+1}\) jest w jednym kolorze, a \(\displaystyle{ n}\) w drugim.
Czy \(\displaystyle{ n+1}\) pionów z pól w jednym kolorze można przestawić na \(\displaystyle{ n}\) pól w kolorze drugim? Nie. Koniec zadania.

[Blazo2000]

Nie można.
Ponumerujmy kolumny szachownicy od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2013}\) od lewej do prawej oraz wiersze szachownicy od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 2011}\) z góry na dół. Ponadto ponumerujmy pionki od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 4048143}\) w jakikolwiek sposób. Niech teraz \(\displaystyle{ v_{i}}\) oznacza sumę numeru wiersza i numeru kolumny pola, na którym znajduje się \(\displaystyle{ i}\)-ty pionek. Wówczas dla dowolnego układu pionków na tej szachownicy, takiego że na każdym polu znajduje się dokładnie \(\displaystyle{ 1}\) pionek zachodzi równość
\(\displaystyle{ \sum_{1}^{4048143} v_{i}=2013(1+2+...+2011)+2011(1+2+...+2013)2011=8148911859}\). A zatem po przestawieniu pionków wartość powyższej sumy nie zmieni się. Z drugiej strony wartość \(\displaystyle{ v_{i}}\), dla każdego pionka albo wzrośnie o \(\displaystyle{ 1}\) (przestawienie go w dół lub w prawo), albo zmaleje o \(\displaystyle{ 1}\) (przestawienie go w górę lub w lewo). Skoro powyższa suma ma się nie zmienić, to ilość pionków, których wartość \(\displaystyle{ v_{i}}\) zmaleje (oznaczmy tę ilość przez \(\displaystyle{ M}\)) musi być taka sama, jak ilość pionków, których wartość \(\displaystyle{ v_{i}}\) wzrośnie (oznaczmy tę ilość przez \(\displaystyle{ W}\)). Mamy zatem \(\displaystyle{ M=W}\), a stąd \(\displaystyle{ 2M=M+W=4048143}\), sprzeczność gdyż liczba \(\displaystyle{ 4048143}\) jest nieparzysta.

[a4karo]

Skoro piony z pól czarnych stawiasz na polach białych, i vice-versa, to warto wiedzieć ile jest pól czarnych, a ile białych.

To rozwiązanie jest dobre, ale powinno zacząć się od stwierdzenia : pomalujmy szachownicę tak, aby...