Ciągi zdefiniowane przez równanie rekurencyjne

[Ad_astra]

Witam.

Nie jestem pewna czy dobrze wybrałam dział. Mam co do tego wątpliwości.
\(\displaystyle{ a_{n}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ (a _{n})_{n\in N}}\) , \(\displaystyle{ (z_{n})_{n\in N}}\) zdefiniowane przez \(\displaystyle{ z_{n} = r−n \cdot a_{n}}\) , dla \(\displaystyle{ \forall n\in \N}\) .
Oraz zbiór ciągów \(\displaystyle{ T}\) , jest zdefiniowany przez: \(\displaystyle{ \forall n\in N, a_{n+2} = A \cdot a_{n+1} + B \cdot a_{n}}\)

Do tego jest też podane równanie charakterystyczne:
(X) \(\displaystyle{ t ^{2} - At - B = 0}\)

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a\in T \Leftrightarrow}\) dla wszystkich n należących do liczb naturalnych, \(\displaystyle{ a_{n} = Cnr^{n} + Dr^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ C = ra_{1} - a_{0}}\) i \(\displaystyle{ D = a_{0}}\)

Mam pomysł na pokazanie tej zależności, dlatego zależy mi na uzyskaniu wartości \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\) .
Jednak jak wykonuję następujące czynności coś mi nie wychodzi (dla \(\displaystyle{ C}\) ):
\(\displaystyle{ a_{0} = D}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = Cr + a_{0} r}\)
Z czego wiemy, że \(\displaystyle{ a_{1} = z_{1} r}\), oraz \(\displaystyle{ a_{0} = z_{0}}\)
Więc, poprzez podstawienie uzyskamy:
\(\displaystyle{ z_{1} r = Cr + z_{0} r}\)
\(\displaystyle{ C = z_{1} - z_{0}}\)

Dlatego właśnie mam pytanie, czy mógłby ktoś mi powiedzieć gdzie popełniam błąd albo lukę w rozumowaniu (bo nie mogę go znaleźć, a próbowałam już na różne sposoby dojść do tego)?
A zależy mi na tym, aby dojść do wartości \(\displaystyle{ C}\) , ponieważ wiem jak ze zbioru \(\displaystyle{ T}\) przejść do równania \(\displaystyle{ a_{n} = Cnr^{n} + Dr^{n}}\) , więc znając sposób na pokazanie, że \(\displaystyle{ C}\) faktycznie ma wartość taką jaką podali w zadaniu, mam prawie cały dowód, a raczej tak mi się wydaje.

Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas!