Kolejny raz jestem zmuszona zwrócić się o pomoc w zadaniu z symbolem Newtona.
Wykaż,że:
1)\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=m} {k \choose r}={n+1 \choose r+1} -{m \choose r+1}}\)
2)\(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=1} {m+k-1 \choose k}= \sum_{m}^{k=1} {n+k-1 \choose k}}\)
Oba przykłady pochodzą z książki autorstwa Z.Palki i A.Rucińskiego "Wykłady z kombinatoryki".
Wykazać,że
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 25 sty 2017, o 17:07
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Wykazać,że
To naucz się poprawnie zapisywać te sumy.
1) Na początek lemat:
\(\displaystyle{ \sum_{k=r}^{m}{k \choose r}={m+1 \choose r+1}}\) , dowód to prosta indukcja po \(\displaystyle{ m}\) plus skorzystanie z własności \(\displaystyle{ {a \choose b-1}+{a \choose b}={a+1 \choose b}}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ a,b}\) .
Potem zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{n}{k \choose r}= \sum_{k=r}^{n} {k \choose r}- \sum_{k=r}^{m-1} {k \choose r}}\) dla \(\displaystyle{ r\le m<n}\) , stosujemy lemat i do widzenia.
1) Na początek lemat:
\(\displaystyle{ \sum_{k=r}^{m}{k \choose r}={m+1 \choose r+1}}\) , dowód to prosta indukcja po \(\displaystyle{ m}\) plus skorzystanie z własności \(\displaystyle{ {a \choose b-1}+{a \choose b}={a+1 \choose b}}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ a,b}\) .
Potem zauważmy, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=m}^{n}{k \choose r}= \sum_{k=r}^{n} {k \choose r}- \sum_{k=r}^{m-1} {k \choose r}}\) dla \(\displaystyle{ r\le m<n}\) , stosujemy lemat i do widzenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 72
- Rejestracja: 25 sty 2017, o 17:07
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 8 razy