Uzasadnij, udowodnij (nie kombinatorycznie)

[NataliaAnna]

Mam duży problem z trzema zadaniami i próbowałam je rozgryźć na kilka sposobów, ale albo robię gdzieś błąd, albo po prostu mam złe podejście. Chodzi o przykłady poniżej, chce je uzasadnić lub udowodnić, ale nie kombinatorycznie.

1. \(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=1} {n \choose k} \frac{(-1) ^{k+1} }{k} = \sum_{n}^{k=1} \frac{1}{k}}\)
   Myli mnie brak \(\displaystyle{ k+1}\) w mianowniku po lewej stronie, przez to nie mam pojęcia jak przez to przebrnąć.
2. \(\displaystyle{ \sum_{n}^{k=2}k(k-1) {n \choose k} =n(n-1)2^{n-2}}\)
   To próbowałam robić przez zwykłe wzory na sumy, jednak przez to, że \(\displaystyle{ k=2}\) , nie wychodziło mi to, co po lewej stronie, bo wzory działają dla \(\displaystyle{ k=0}\) lub \(\displaystyle{ k=1}\) .
3. \(\displaystyle{ \sum_{l}^{k=0} {n \choose k} {m \choose l-k} = {m+n \choose l}}\)

[Premislav]

1)
Indukcja po \(\displaystyle{ n}\), dla \(\displaystyle{ n=1}\) po obu stronach otrzymamy \(\displaystyle{ 1}\), zaś w drugim kroku indukcyjnym korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ {n \choose k}+{n \choose k-1}={n+1 \choose k}, \ k\ge 1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} {n+1 \choose k} \frac{(-1) ^{k+1} }{k}=\\=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} \frac{(-1) ^{k+1} }{k} +\sum_{k=1}^{n} {n \choose k-1} \frac{(-1) ^{k+1} }{k}=[\text{ zał. indukcyjne}]=\\= \sum_{k=1}^{n}\frac 1 k+\frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n}{n+1 \choose k}(-1)^{k+1}=\\= \sum_{k=1}^{n}\frac 1 k+\frac{1}{n+1}\left( 1- \sum_{k=0}^{n+1} {n+1\choose k}(-1)^k\right) =\\= \sum_{k=1}^{n}\frac 1 k+\frac{1}{n+1}\left( 1-\left( 1-1\right)^{n+1} \right)= \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1 k}\)


2) Zauważ, że
\(\displaystyle{ k(k-1){n \choose k}=n(n-1){n-2\choose k-2}}\) dla \(\displaystyle{ k=2,3\ldots n}\)
(można to policzyć, rozpisując na silnie i skracając)
oraz że
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n} {n-2 \choose k-2}= \sum_{k=0}^{n-2} {n-2 \choose k}=2^{n-2}}\)

3) To jest trudniejsze, pomyślę chwilę.

-- 6 sty 2018, o 20:14 --

Dobra, gdyby ktoś szukał niekombinatorycznego dowodu (3.), to mnie to akurat przerosło, ale macie tutaj:
... tion.shtml
Dowód nr 4 jest całkiem prosty, nawet bardzo.