Ilość sposobów wyboru pary liczb (a,b) z dwoma warunkami.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
studciak123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 19 lis 2017, o 17:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: A kto to wie
Podziękował: 11 razy

Ilość sposobów wyboru pary liczb (a,b) z dwoma warunkami.

Post autor: studciak123 »

Chcemy wybrać parę liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a,b)}\) taką, że liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są z przedziału \(\displaystyle{ [1,n]}\) oraz suma \(\displaystyle{ a+b}\) jest parzysta. Na ile sposobów możemy to zrobić?
Ostatnio zmieniony 6 sty 2018, o 16:45 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Ilość sposobów wyboru pary liczb (a,b) z dwoma warunkami.

Post autor: kerajs »

Parzystą sumę dają dwie liczby parzyste lub dwie nieparzyste.

A) \(\displaystyle{ a,b}\) nie mogą być równe
1) zał: \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
  • \(\displaystyle{ il = { \frac{n}{2} \choose 2}+ { \frac{n}{2} \choose 2}}\)
2) zał: \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste
  • \(\displaystyle{ il = { \frac{n-1}{2} \choose 2}+ { \frac{n+1}{2} \choose 2}}\)
B) \(\displaystyle{ a,b}\) mogą być równe
1) zał: \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
  • \(\displaystyle{ il = ...}\)
2) zał: \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste
  • \(\displaystyle{ il = ...}\)
studciak123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 19 lis 2017, o 17:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: A kto to wie
Podziękował: 11 razy

Ilość sposobów wyboru pary liczb (a,b) z dwoma warunkami.

Post autor: studciak123 »

Dzięki za odpowiedź. Interesuje mnie tylko drugi przypadek. Czy prawidłowa odpowiedź jest postaci ( wybieram jedną parę postaci \(\displaystyle{ (a,b)}\) ):
Dla parzystych \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}\frac{n}{2} + 1\\ 2\end{array}\right) \cdot 2}\)
Dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}\frac{n-1}{2} + 1\\ 2\end{array}\right) \cdot 2}\)
\(\displaystyle{ \cdot 2}\) bo para \(\displaystyle{ (1,3)}\) nie równa się parze \(\displaystyle{ (3,1)}\) , a kombinacjami z powtórzeniami wybiorę tylko jedną.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Ilość sposobów wyboru pary liczb (a,b) z dwoma warunkami

Post autor: kerajs »

Dla mnie kolejność elementów w parze nie ma znaczenia, i stąd rozwiązanie z mojej poprzedniej odpowiedzi.

D) kolejność elementów w parze ma znaczenie, oraz można wylosować te same elementy:
1) zał: n jest parzyste
\(\displaystyle{ il = \frac{n}{2} \cdot \frac{n}{2}+ \frac{n}{2} \cdot \frac{n}{2}}\)

2) zał: n jest nieparzyste
\(\displaystyle{ il = \frac{n-1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}+ \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n+1}{2}}\)
studciak123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 19 lis 2017, o 17:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: A kto to wie
Podziękował: 11 razy

Re: Ilość sposobów wyboru pary liczb (a,b) z dwoma warunkami

Post autor: studciak123 »

Czemu dodajesz do siebie te rozwiązania. Na razie rozumiem to tak, że na \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) sposobów jeden element i potem znowu na \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) sposobów drugi element z pary. Ale czemu potem dodajesz do tego \(\displaystyle{ \frac{n}{2}
+ \frac{n}{2}}\)
?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Ilość sposobów wyboru pary liczb (a,b) z dwoma warunkami

Post autor: kerajs »

Bo pierwszy iloczyn to ilość sum parzystych których składniki są parzyste, a drugi iloczyn to ilość sum parzystych których składniki są nieparzyste.
ODPOWIEDZ