Udowodnij równanie ze wzorem Newtona

[mean]

Cześć czy mógłby ktoś wyjaśnić jak zrobić to zadanie? tzn rozwiązanie mam ale jakoś go nie rozumiem, albo mam źle napisane
Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) i \(\displaystyle{ a \in \RR}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} \frac{ a^{k} }{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}}\)

[arek1357]

Wskazówka:

Jest to prawda i jest to konsekwencja fajnej równości, którą możesz udowodnić indukcyjnie , a mianowicie:

\(\displaystyle{ \frac{{k \choose k} }{k}+ \frac{{k+1 \choose k} }{k+1}+...+ \frac{{n \choose k} }{n}= \frac{ {n \choose k} }{k}}\)

Tę równość też nie kojarzyłem, ale pojawiła mi się w trakcie jak udowadniałem to zadanie,
Z początku wydawała mi się nieprawdziwa, ale szybko ją udowodniłem indukcyjnie...

[Premislav]

Ładne, nie kojarzyłem tego.

Dorzucę dwa brutalniejsze rozwiązania:

1.

niech \(\displaystyle{ f(a)=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}-\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}}\) . Wówczas \(\displaystyle{ f(0)=0-0=0}\) , a ponadto:
\(\displaystyle{ f'(a)= \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}a^{k-1}- \sum_{k=1}^{n}(a+1)^{k-1}=\\=\frac{1}{a}\left((1+a)^n-1\right)- \frac{1}{a} \left( (1+a)^n-1\right)=0}\)
dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\) , zatem \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stale równą zero,
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}-\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}\equiv 0}\) , czyli dla każdego \(\displaystyle{ a\in \RR}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}}\)
c.n.d.

2.

\(\displaystyle{ P=\sum_{k=1}^{n} \frac{ (a+1)^{k} - 1 }{k}= \sum_{k=1}^{n} \frac 1 k\left( \sum_{l=0}^{k}{k\choose l}a^l -1\right)=\\= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \sum_{l=1}^{k}{k \choose l} a^l= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{k}\frac{1}{k}{k \choose l}a^l=\\= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{k}\frac{1}{l}{k-1 \choose l-1}a^l= \sum_{l=1}^{n} \frac{a^l}{l}\sum_{k=l}^{n} {k-1 \choose l-1}}\)
i pozostaje uzasadnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{n} {k-1 \choose l-1}={n \choose l}}\) ,
a do tego można ułożyć jakąś bajeczkę, a jak ktoś nie lubi bajeczek, to indukcja po \(\displaystyle{ n\ge l}\) .
Pierwszy krok indukcyjny jest banalny. W drugim kroku indukcyjnym sprawę załatwia:
\(\displaystyle{ {n \choose l}+{n \choose l-1}={n+1 \choose l}}\) (znana tożsamość).

Zatem uzyskaliśmy:
\(\displaystyle{ P= \sum_{l=1}^{n} {n \choose l}\frac{a^l}{l}=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}\frac{a^k}{k}=L}\)
c.n.d.

Skorzystałem z tożsamości \(\displaystyle{ \frac{1}{k}{k\choose l}=\frac{1}{l}{k-1\choose l-1}, \ k,l \in \NN^+}\) i ze zmiany kolejności sumowania.

-- 5 sty 2018, o 23:13 --

Oczywiście najszybsze, ale i najbrutalniejsze rozwiązanie to chyba po prostu stwierdzenie, że lewa strona tezy to:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}\int_{0}^{a}x^{k-1} \,\dd x=\int_{0}^{a}\left( \sum_{k=1}^{n}{n \choose k} x^{k-1} \right) \,\dd x=\\= \int_{0}^{a} \frac{(1+x)^n-1}{x} \,\dd x= \int_{0}^{a}\left( \sum_{k=1}^{n} (1+x)^{k-1} \right) \,\dd x =\ldots}\)
Równość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (1+x)^{k-1}=\frac{(1+x)^n-1}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) wynika z własności ciągu geometrycznego.

[arek1357]

Jednak najładniejsze to Twoje pierwsze rozwiązanie, dydaktycznie ma największą wartość...