Symbol Newtona

[kuuba]

Cześć. Proszę o pomoc w dowodzie poniższych równań.
\(\displaystyle{ {r\choose k}=\frac{r}{k}{r-k\choose k-1}}\)

\(\displaystyle{ (r-k){r\choose k}=r{r-1\choose k}}\)

\(\displaystyle{ {r\choose m}{m\choose k}={r\choose k}{r-k\choose m-k}}\)

[leg14]

Tutaj nie ma żadnych pułapek, po prostu rozpisz te symbole newtona z definicji i samo wyjdzie

[kuuba]

Jednak proszę o rozpisanie.

[leg14]

rozpisz środkowe (najłatwoiejsze) to rozpiszę Ci pozostałe dwa

[kuuba]

W środkowym wyszło mi po obu stronach \(\displaystyle{ \frac{r^{\underline{k+1}}}{k!}}\) po obu stronach

[leg14]

blefujesz albo źle policzyłes

[kuuba]

Dlatego proszę o rozpisanie

[leg14]

to chociaż rozpisz mi z definicji \(\displaystyle{ {r\choose k}}\)

[kuuba]

\(\displaystyle{ \frac{r^{\underline{k}}}{k!}}\)

[leg14]

Skąd to wziąłeś?

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Newtona

[kuuba]

Z ćwiczeń. To rozpisz po swojemu

[leg14]

Przecież wysłałem Ci linka, Twojej notacji nigdy nie widziałem. Nawet jeśli jest prawdziwa, to ne ichdoziło mi o zamianę jednego symbolu na kolejny. Co np. znaczy \(\displaystyle{ r^{\underline{k}}}\)

[koni007]

Cześć, zapis kolegi opisuje następująca postać dwumianu: \(\displaystyle{ {r \choose k} = \frac{r \cdot (r-1) \cdot ... \cdot (r-k+1)}{k!}}\)

[Janusz Tracz]

Ten zapis jest chyba bardziej popularny w informatycznych środowiskach niemniej jednak jest on "znany".
Tu można poczytać więcej:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Falling_and_rising_factorials#Alternate_notations

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Pochhammer_k-symbol

Co do zadania to proponuję jednak skorzystać ze standardowej notacji i zapisać

\(\displaystyle{ {r \choose k}= \frac{r!}{k!(r-k)!}}\)

Jeśli rozpiszesz dwie strony równania to powinno ładnie wyjść. Na przykład

\(\displaystyle{ (r-k){r\choose k}=r{r-1\choose k}}\)

\(\displaystyle{ (r-k)\frac{r!}{k!(r-k)!}=r\frac{(r-1)!}{k!(r-(k-1))!}}\)

\(\displaystyle{ 1=1}\)

cnd.