Ilość liczb 3-cyfrowych

[Ania221]

Zadanko
Ile jest liczb trzycyfrowych takich, że cyfra jedności jest mniejsza od cyfry dziesiątek, a cyfra dziesiątek jest mniejsza niż cyfra setek?
Odpowiedź jest: 120
Zrobiłam to "na piechotę" i faktycznie tyle ich jest.
Ale jak można to zrobić nie na piechotę?

[kerajs]

\(\displaystyle{ il= {10 \choose 3}}\)
Czy trzycyfrowe w których cyfra setek jest mniejsza od cyfry dziesiątek, a cyfra dziesiątek jest mniejsza niż cyfra jedności także tak można zliczyć?


PS
Można też liczyć tak:
\(\displaystyle{ il= \sum_{i=1}^{10-2}T_i}\)
gdzie \(\displaystyle{ T_i}\) to i-ta liczba trójkątna.

[Ania221]

Nie można bo trzeba uwzględnić że zero nie może być na początku. I z założenia nie może tez być na końcu.
Wtedy byłoby
\(\displaystyle{ il= {9 \choose 3}}\) tak?

Ale szczerze mówiąc, to nie bardzo rozumiem, dlaczego tak?

[kerajs]

Wybierając trzy różne cyfry istnieje tylko jedno ich ustawienie w ciąg malejący. Dlatego ilość takich trzycyfrowych ciągów malejących jest równa ilości trójelementowych kombinacji ze zbioru 10 cyfr.


Masz rację. Przy ciągach rosnących należy uwzględnić początkowe zero. Stąd:
\(\displaystyle{ il_2= {10 \choose 3}- {9 \choose 2} =...}\)
Odjemnik zawiera nadmiarowe liczby dwucyfrowe (trzycyfrowe z zerem na miejscu setek)