Podaj funkcję tworzącą dla podanego ciągu

[mantoo]

Podaj funkcję tworzącą dla podanego ciągu:
a. \(\displaystyle{ \left( 5,\ 9,\ 17,\ 33,\ 65,\ 129,\ ...\right)}\) ,
b. \(\displaystyle{ d_{n} = 3^{n} - 2^{n}}\) ,
c. \(\displaystyle{ e_{n} = 3 + 2^{n} - \left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}\) ,
d. \(\displaystyle{ f_{n} = 5 * 8^{n+3}}\) .

[Premislav]

W pierwszym warto najpierw wyznaczyć wzór ogólny ciągu:
\(\displaystyle{ a_n=2^n+1, \ n=2,3\ldots}\)
a jak chcesz, żeby zaczynał się od \(\displaystyle{ a_0}\), to
\(\displaystyle{ a_n=2^{n+2}+1, \ n=0,1\ldots}\) (po prostu przesuwamy indeksy).

Dalej to tylko znajomość wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
ponieważ dla \(\displaystyle{ |x|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^n=\frac{1}{1-x}}\),
to gdy \(\displaystyle{ a\neq 0, |x|<\frac{1}{|a|}}\)
zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } (ax)^n=\frac{1}{1-ax}}\)

Dziękuję za zwrócenie uwagi na błąd, a4karo.

[Mariusz M]

Jeśli chodzi o pierwszy ciąg to można też wyjść z wzoru rekurencyjnego

\(\displaystyle{ a_{n}= \begin{cases} 5 \qquad\qquad\qquad n=0 \\ 2a_{n-1}-1 \qquad n>0 \end{cases}}\)

[mantoo]

Tylko chciałbym to zapisać jako funkcje tworzącą, a nie jako wzór rekurencyjny udało mi się znaleźć taki ciąg \(\displaystyle{ (4,8,16,32,64,128...)}\) i to jest \(\displaystyle{ \frac{4}{1-2x}}\) tylko jak to przekształcić na taki ciąg: \(\displaystyle{ (5,9,17,33,65...)}\) i nie mam pomysłu jak rozpisać kolejne

[Premislav]

Funkcją tworzącą ciągu stale równego \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{}^{} x^n=\frac{1}{1-x},\ |x|<1}\)) . Do każdego wyrazu ciągu o podanej przez Ciebie funkcji tworzącej dodajesz \(\displaystyle{ 1}\) , czyli funkcją tworzącą tego całego Twojego ciągu będzie
\(\displaystyle{ \frac{4}{1-2x}+\frac{1}{1-x}}\) …

[mantoo]

A może wiesz jak zrobić b, c i d bo nawet nie mam pomysłu

[Premislav]

Przecież to jest bardzo proste. Rozwiążę b), resztę masz zrobić sam analogicznie.
b) \(\displaystyle{ G(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} (3^n-2^n)x^n= \sum_{n=0}^{+\infty} (3x)^n- \sum_{n=0}^{+\infty}(2x)^n=\frac{1}{1-3x}-\frac{1}{1-2x}, \ |x|<\frac 1 3}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ a_{0}=5\\
a_{n}=2a_{n-1}-1\\
A\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n} \\
\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n}=\sum_{n=1}^{ \infty }2a_{n-1}x^{n}- \sum_{n=1}^{ \infty }x^{n} \\
\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n}=2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n-1}x^{n-1}\right)- \frac{x}{1-x} \\
\sum_{n=0}^{ \infty }a_{n}x^{n}-5=2x\left(\sum_{n=1}^{ \infty }a_{n}x^{n}\right)- \frac{x}{1-x} \\
A\left( x\right)-5=2xA\left( x\right) -\frac{x}{1-x}\\
A\left( x\right)-2xA\left( x\right)=5-\frac{x}{1-x}\\
A\left( x\right)\left( 1-2x\right)=\frac{5-6x}{1-x}\\
A\left( x\right)=\frac{5-6x}{\left(1-2x \right)\left( 1-x\right) }\\}\)