Proszę o pomoc z następującym zadaniem:
Rozwiąż zależność rekurencyjną metodą równania charakterystycznego
\(\displaystyle{ a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}+6n+2, n \ge 2, a_{0}=1 , a_{1}=2}\)
Podstawiłem \(\displaystyle{ a_{n}=sn+t}\)
i doszedłem do \(\displaystyle{ s+6=s, -3s+t+2=t}\)
czyli sprzeczność. Gdzie robię błąd?
Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego
Takie przewidywanie jest niepoprawe, działa natomiast (ale nie pamiętam dlaczego działa) przewidywanie
\(\displaystyle{ a_n=sn^2+tn}\), czyli podbicie o jedną potęgę \(\displaystyle{ n}\): wstawiając to, otrzymujemy
\(\displaystyle{ sn^2+tn=-s(n-1)^2-t(n-1)+2s(n-2)^2+2t(n-2)+6n+2\\ sn^2+tn=-sn^2+2sn-s-tn+t+2sn^2-8sn+8+2tn-4t+6n+2\\ \begin{cases} 6s=6 \\ s+3t=10 \end{cases}}\)
co otrzymujemy z przyrównania współczynników (jak to z porównywaniem wielomianów, które mają być przystające - współczynniki przy każdej potędze muszą być równe).
Czyli rozwiązaniem szczególnym Twojej rekurencji niejednorodnej (srając na razie na warunki początkowe) jest \(\displaystyle{ s_n=n^2+3n}\), skoro więc znasz rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego jednorodnego - wychodzi z równania charakterystycznego \(\displaystyle{ A\cdot (-2)^n+B}\), to równanie rekurencyjne niejednorodne ma rozwiązanie ogólne postaci
\(\displaystyle{ A\cdot (-2)^n+B+n^2+3n}\) - stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wyliczasz, wstawiając warunki \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=2}\) i tworząc układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi.
Wolę metodę funkcji tworzących. Tam nie ma zgadywania.
\(\displaystyle{ a_n=sn^2+tn}\), czyli podbicie o jedną potęgę \(\displaystyle{ n}\): wstawiając to, otrzymujemy
\(\displaystyle{ sn^2+tn=-s(n-1)^2-t(n-1)+2s(n-2)^2+2t(n-2)+6n+2\\ sn^2+tn=-sn^2+2sn-s-tn+t+2sn^2-8sn+8+2tn-4t+6n+2\\ \begin{cases} 6s=6 \\ s+3t=10 \end{cases}}\)
co otrzymujemy z przyrównania współczynników (jak to z porównywaniem wielomianów, które mają być przystające - współczynniki przy każdej potędze muszą być równe).
Czyli rozwiązaniem szczególnym Twojej rekurencji niejednorodnej (srając na razie na warunki początkowe) jest \(\displaystyle{ s_n=n^2+3n}\), skoro więc znasz rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego jednorodnego - wychodzi z równania charakterystycznego \(\displaystyle{ A\cdot (-2)^n+B}\), to równanie rekurencyjne niejednorodne ma rozwiązanie ogólne postaci
\(\displaystyle{ A\cdot (-2)^n+B+n^2+3n}\) - stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wyliczasz, wstawiając warunki \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=2}\) i tworząc układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi.
Wolę metodę funkcji tworzących. Tam nie ma zgadywania.
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego
Premislav faktycznie jest tak jak piszesz, aczkolwiek mam mętlik w głowie bo w księgach napisano "Jeśli współczynnik b jest wielomianem stopnia m zmiennej n to przyjmujemy rozwiązanie szczególne tej samej postaci, czyli wielomianu stopnia m zmiennej n"
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego
Dla mnie to przewidywanie jest grubymi nićmi szyte wzięte z kapelusza może i działa, ale ja bym od swojej Pani dostał w mordę za takie podstawianie...
Tego się trzymajmy...Wolę metodę funkcji tworzących. Tam nie ma zgadywania.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego
Jeżeli nie chcemy zgadywać to możemy zastosować sposób jaki przedstawiłem w tym temacie
426578.htm#p5519320
tylko musimy sobie przypomnieć jak podnosiliśmy macierz do potęgi
Tutaj równanie charakterystyczne występuje podczas liczenia wartości własnych
426578.htm#p5519320
tylko musimy sobie przypomnieć jak podnosiliśmy macierz do potęgi
Tutaj równanie charakterystyczne występuje podczas liczenia wartości własnych