Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Post autor: kylercopeland »

Proszę o pomoc z następującym zadaniem:

Rozwiąż zależność rekurencyjną metodą równania charakterystycznego

\(\displaystyle{ a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}+6n+2, n \ge 2, a_{0}=1 , a_{1}=2}\)

Podstawiłem \(\displaystyle{ a_{n}=sn+t}\)

i doszedłem do \(\displaystyle{ s+6=s, -3s+t+2=t}\)

czyli sprzeczność. Gdzie robię błąd?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Post autor: arek1357 »

Po coś ty to podstawił? nie kumam tego całkowicie...
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Post autor: Premislav »

Takie przewidywanie jest niepoprawe, działa natomiast (ale nie pamiętam dlaczego działa) przewidywanie
\(\displaystyle{ a_n=sn^2+tn}\), czyli podbicie o jedną potęgę \(\displaystyle{ n}\): wstawiając to, otrzymujemy

\(\displaystyle{ sn^2+tn=-s(n-1)^2-t(n-1)+2s(n-2)^2+2t(n-2)+6n+2\\ sn^2+tn=-sn^2+2sn-s-tn+t+2sn^2-8sn+8+2tn-4t+6n+2\\ \begin{cases} 6s=6 \\ s+3t=10 \end{cases}}\)
co otrzymujemy z przyrównania współczynników (jak to z porównywaniem wielomianów, które mają być przystające - współczynniki przy każdej potędze muszą być równe).
Czyli rozwiązaniem szczególnym Twojej rekurencji niejednorodnej (srając na razie na warunki początkowe) jest \(\displaystyle{ s_n=n^2+3n}\), skoro więc znasz rozwiązanie ogólne równania rekurencyjnego jednorodnego - wychodzi z równania charakterystycznego \(\displaystyle{ A\cdot (-2)^n+B}\), to równanie rekurencyjne niejednorodne ma rozwiązanie ogólne postaci
\(\displaystyle{ A\cdot (-2)^n+B+n^2+3n}\) - stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wyliczasz, wstawiając warunki \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=2}\) i tworząc układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi.
Wolę metodę funkcji tworzących. Tam nie ma zgadywania.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Post autor: kylercopeland »

Premislav faktycznie jest tak jak piszesz, aczkolwiek mam mętlik w głowie bo w księgach napisano "Jeśli współczynnik b jest wielomianem stopnia m zmiennej n to przyjmujemy rozwiązanie szczególne tej samej postaci, czyli wielomianu stopnia m zmiennej n"
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Post autor: arek1357 »

Dla mnie to przewidywanie jest grubymi nićmi szyte wzięte z kapelusza może i działa, ale ja bym od swojej Pani dostał w mordę za takie podstawianie...
Wolę metodę funkcji tworzących. Tam nie ma zgadywania.
Tego się trzymajmy...
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Rozwiąż zależność metodą równania charakterystycznego

Post autor: Mariusz M »

Jeżeli nie chcemy zgadywać to możemy zastosować sposób jaki przedstawiłem w tym temacie
426578.htm#p5519320
tylko musimy sobie przypomnieć jak podnosiliśmy macierz do potęgi

Tutaj równanie charakterystyczne występuje podczas liczenia wartości własnych
ODPOWIEDZ