funkcja tworząca

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

funkcja tworząca

Post autor: Karolina93 » 5 gru 2017, o 21:40

Hej. Jak znaleźć funkcję tworząca takiego ciągu

\(\displaystyle{ a_{n+1}=3a_{n}+2,\\a_{0}=1}\)

Robię tak. Wyznaczam najpierw \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{3}a_{n+1}- \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty}a_{n}x^{n}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty}a_{n}x^{n}=A(x)-1=\sum_{n=1}^{ \infty}\left( \frac{1}{3}a_{n+1}- \frac{2}{3}\right) x^{n}= \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{ \infty}a_{n+1}x^{n}- \frac{2}{3}\sum_{n=1}^{ \infty}x^{n}=\\ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{ \infty}a_{n+1}x^{n+1}- \frac{2}{3} \left( \sum_{n=0}^{ \infty}x^{n}-1\right)= \frac{1}{3x}A(x)- \frac{2}{3} \left(\frac{1}{1-x}-1\right)}\)
Czyli porównując
\(\displaystyle{ A(x)-1= \frac{1}{3x}A(x)- \frac{2}{3} \left(\frac{1}{1-x}-1\right)}\)
Po uporządkowaniu otrzymuje
\(\displaystyle{ A(x)= \frac{5x^{2}-3x}{(1-x)(1-3x)}}\)

Odpowiedź do tego zadania ma być:
\(\displaystyle{ A(x) = \frac{1+x}{(1-x)(1-3x)}}\)

Czy ktoś potrafi wskazać gdzie mam błąd?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14480
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 4764 razy

Re: funkcja tworząca

Post autor: Premislav » 5 gru 2017, o 22:56

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{ \infty}a_{n+1}x^{n+1}- \frac{2}{3} \left( \sum_{n=0}^{ \infty}x^{n}-1\right)= \frac{1}{3x}A(x)- \frac{2}{3} \left(\frac{1}{1-x}-1\right)}\)
Ta równość jest błędna, wszelakoż gdybyś rozpisała sobie na spokojnie początkowe wyrazy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n+1}x^{n+1}}\), to zobaczyłabyś, że czegoś z \(\displaystyle{ A(x)}\) tam nie ma. Mianowicie zaś \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n+1}x^{n+1}=A(x)-a_1\cdot x-a_0}\)

ODPOWIEDZ