Znaleźć wzór dla n-elementowych permutacji przy pomocy funkcji tworzących.
Przekopałam internet i nie mam nawet pomysłu jak zacząć
funkcja tworząca dla permutacji
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5745
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 130 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: funkcja tworząca dla permutacji
Niech\(\displaystyle{ f(x)}\) będzie wykładniczą funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n!}x^n=1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{na_{n-1}}{n!}x^n=1+x \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{a_{n-1}}{(n-1)!}x^{n-1}=1+x \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n!}x^n=1+xf(x)}\)
z tego wyliczasz:\(\displaystyle{ f(x)}\) i masz;
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{ \infty }x^n}\)
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n!}x^n=1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{na_{n-1}}{n!}x^n=1+x \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{a_{n-1}}{(n-1)!}x^{n-1}=1+x \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{a_{n}}{n!}x^n=1+xf(x)}\)
z tego wyliczasz:\(\displaystyle{ f(x)}\) i masz;
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{1-x}= \sum_{n=0}^{ \infty }x^n}\)