Znaleźć jawne wzory dla ciągu spełniającego poniższe warunki rekurencyjne:
\(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_{n} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{0} = 0, a_{1} = 1}\)
Znalazłam rozwiązanie równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ x^{2} +2x-3 = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = -1, x_{2} = 3}\)
Czyli rozwiązanie równania jednorodnego będzie miało postać:
\(\displaystyle{ a_{n} = C_{1} \cdot (-1)^{n}+ C_{2} \cdot 3^{n}}\)
Rozwiązanie równania niejednorodnego przewiduję w postaci:
\(\displaystyle{ a_{n} = A}\)
bo wyraz wolny we wzorze rekurencyjnym ciągu jest wielomianem stopnia zerowego.
Jednak teraz pojawiają się pytania:
1. Czy jeśli we wzorze rekurencyjnym największym indeksem nie jest n, to powinniśmy gdzieś to uwzględnić w rozwiązaniu?
2. Po podstawieniu przewidywanego rozwiązania \(\displaystyle{ a_{n} = A}\) do wzoru \(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_{n} = 1}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A+2A-3A = 1}\) co prowadzi do wniosku, że 0 = 1. Gdzie jest zatem błąd w tym rozumowaniu?
Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ 1}\) jest tu pierwiastkiem równania charakterystycznego rekurencji jednorodnej, zatem należy podbić o jedną potęgę i przewidzieć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego w postaci
\(\displaystyle{ A\cdot n}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to jakaś stała. Wstawiając do równania:
\(\displaystyle{ A(n+2)+2A(n+1)-3A\cdot n=1}\), tj. \(\displaystyle{ A=\frac 1 4}\), więc rozwiązanie szczególne jest postaci \(\displaystyle{ s_n=\frac 1 4 n}\). Potem chyba wiesz, co z tym zrobić.-- 24 lis 2017, o 02:19 --A z tymi indeksami to przecież nie ma znaczenia, jak komuś się nie podoba, to sobie może przesunąć indeksy.
\(\displaystyle{ A\cdot n}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to jakaś stała. Wstawiając do równania:
\(\displaystyle{ A(n+2)+2A(n+1)-3A\cdot n=1}\), tj. \(\displaystyle{ A=\frac 1 4}\), więc rozwiązanie szczególne jest postaci \(\displaystyle{ s_n=\frac 1 4 n}\). Potem chyba wiesz, co z tym zrobić.-- 24 lis 2017, o 02:19 --A z tymi indeksami to przecież nie ma znaczenia, jak komuś się nie podoba, to sobie może przesunąć indeksy.
Re: Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego
Ah... Bo rozwiązaniami nie są -1 i 3, tylko 1 i -3. Dzięki wielkie za pomoc. Muszę uważniej rozwiązywać proste rzeczy-- 24 lis 2017, o 09:21 --A mam jeszcze pytanie. Czy gdyby po lewej stronie pierwszego równania była liczba 2, to czy to zadanie da się rozwiązać? Wówczas 2 nie jest rozwiązaniem równania jednorodnego.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego
Tutaj też należy przewidzieć \(\displaystyle{ A\cdot n}\), nie pamiętam czemu, ale to działa.
Akurat żaden ciąg stały nie spełnia tej rekurencji, co łatwo widać. Ja nie lubię się nad takimi rzeczami głowić, więc zaproponowałbym coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_{n} = 2\\ a_{n+1}+2a_n-3a_{n-1}=2, \ n\ge 1}\),
odejmujemy stronami i mamy
\(\displaystyle{ (a_{n+2}-a_{n+1})+2(a_{n+1}-a_n)-3(a_n-a_{n-1})=0}\),
czyli ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) określony następująco:
\(\displaystyle{ b_{n}=a_{n+1}-a_{n}, n \ge 0}\)
spełnia zależność \(\displaystyle{ b_{n+2}+2b_{n+1}-3b_n=0}\), a to jest już równanie jednorodne.
Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ b_1=a_1-a_0=1, \ b_2=a_2-a_1=0}\)
(to drugie obliczyłem). No i jak już to rozwiążesz, to
\(\displaystyle{ a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\ldots+(a_1-a_0)+a_0}\)
i otrzymasz jakieś ciągi geometryczne.
Można też metodą funkcji tworzących, którą ja najbardziej lubię.
Akurat żaden ciąg stały nie spełnia tej rekurencji, co łatwo widać. Ja nie lubię się nad takimi rzeczami głowić, więc zaproponowałbym coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_{n} = 2\\ a_{n+1}+2a_n-3a_{n-1}=2, \ n\ge 1}\),
odejmujemy stronami i mamy
\(\displaystyle{ (a_{n+2}-a_{n+1})+2(a_{n+1}-a_n)-3(a_n-a_{n-1})=0}\),
czyli ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) określony następująco:
\(\displaystyle{ b_{n}=a_{n+1}-a_{n}, n \ge 0}\)
spełnia zależność \(\displaystyle{ b_{n+2}+2b_{n+1}-3b_n=0}\), a to jest już równanie jednorodne.
Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ b_1=a_1-a_0=1, \ b_2=a_2-a_1=0}\)
(to drugie obliczyłem). No i jak już to rozwiążesz, to
\(\displaystyle{ a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\ldots+(a_1-a_0)+a_0}\)
i otrzymasz jakieś ciągi geometryczne.
Można też metodą funkcji tworzących, którą ja najbardziej lubię.