Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Alivia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2017, o 00:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego

Post autor: Alivia »

Znaleźć jawne wzory dla ciągu spełniającego poniższe warunki rekurencyjne:
\(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_{n} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{0} = 0, a_{1} = 1}\)


Znalazłam rozwiązanie równania jednorodnego:
\(\displaystyle{ x^{2} +2x-3 = 0}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = -1, x_{2} = 3}\)

Czyli rozwiązanie równania jednorodnego będzie miało postać:
\(\displaystyle{ a_{n} = C_{1} \cdot (-1)^{n}+ C_{2} \cdot 3^{n}}\)

Rozwiązanie równania niejednorodnego przewiduję w postaci:
\(\displaystyle{ a_{n} = A}\)
bo wyraz wolny we wzorze rekurencyjnym ciągu jest wielomianem stopnia zerowego.

Jednak teraz pojawiają się pytania:
1. Czy jeśli we wzorze rekurencyjnym największym indeksem nie jest n, to powinniśmy gdzieś to uwzględnić w rozwiązaniu?
2. Po podstawieniu przewidywanego rozwiązania \(\displaystyle{ a_{n} = A}\) do wzoru \(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_{n} = 1}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A+2A-3A = 1}\) co prowadzi do wniosku, że 0 = 1. Gdzie jest zatem błąd w tym rozumowaniu?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ 1}\) jest tu pierwiastkiem równania charakterystycznego rekurencji jednorodnej, zatem należy podbić o jedną potęgę i przewidzieć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego w postaci
\(\displaystyle{ A\cdot n}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to jakaś stała. Wstawiając do równania:
\(\displaystyle{ A(n+2)+2A(n+1)-3A\cdot n=1}\), tj. \(\displaystyle{ A=\frac 1 4}\), więc rozwiązanie szczególne jest postaci \(\displaystyle{ s_n=\frac 1 4 n}\). Potem chyba wiesz, co z tym zrobić.-- 24 lis 2017, o 02:19 --A z tymi indeksami to przecież nie ma znaczenia, jak komuś się nie podoba, to sobie może przesunąć indeksy.
Alivia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2017, o 00:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego

Post autor: Alivia »

Ah... Bo rozwiązaniami nie są -1 i 3, tylko 1 i -3. Dzięki wielkie za pomoc. Muszę uważniej rozwiązywać proste rzeczy-- 24 lis 2017, o 09:21 --A mam jeszcze pytanie. Czy gdyby po lewej stronie pierwszego równania była liczba 2, to czy to zadanie da się rozwiązać? Wówczas 2 nie jest rozwiązaniem równania jednorodnego.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego

Post autor: Premislav »

Tutaj też należy przewidzieć \(\displaystyle{ A\cdot n}\), nie pamiętam czemu, ale to działa.
Akurat żaden ciąg stały nie spełnia tej rekurencji, co łatwo widać. Ja nie lubię się nad takimi rzeczami głowić, więc zaproponowałbym coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_{n} = 2\\ a_{n+1}+2a_n-3a_{n-1}=2, \ n\ge 1}\),
odejmujemy stronami i mamy
\(\displaystyle{ (a_{n+2}-a_{n+1})+2(a_{n+1}-a_n)-3(a_n-a_{n-1})=0}\),
czyli ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) określony następująco:
\(\displaystyle{ b_{n}=a_{n+1}-a_{n}, n \ge 0}\)
spełnia zależność \(\displaystyle{ b_{n+2}+2b_{n+1}-3b_n=0}\), a to jest już równanie jednorodne.
Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ b_1=a_1-a_0=1, \ b_2=a_2-a_1=0}\)
(to drugie obliczyłem). No i jak już to rozwiążesz, to
\(\displaystyle{ a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\ldots+(a_1-a_0)+a_0}\)
i otrzymasz jakieś ciągi geometryczne.

Można też metodą funkcji tworzących, którą ja najbardziej lubię.
Alivia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lis 2017, o 00:46
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: Rozwiązanie rekurencyjnego równania niejednorodnego

Post autor: Alivia »

Dzięki
ODPOWIEDZ