Wierzchołki kwadratu

[Conny__]

Korzystając z rysunku oblicz:
a) Ile jest najkrótszych dróg z wierzchołka A do wierzchołka B?
b) Ile różnych kwadratów jest na poniższym rysunku, których wierzchołkami są punkty przecięcia linii kwadratu 6x6?
c) Ile jest różnych prostokątów na poniższym rysunku, których wierzchołkami są punkty przecięcia linii kwadratu 6x6, a boki są równoległe do tych linii?

Obrazek:

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{ \frac{12!}{6!6!}}\)
b)
\(\displaystyle{ 6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1}\)
c)
\(\displaystyle{ \frac{49 \cdot 36 }{4}}\)

[arek1357]

jak to liczyłeś?

[kerajs]

a)
423490.htm
b)
Kwadratów o krawędzi \(\displaystyle{ k in left{ 1,2,...,6
ight}}\) na boku dużego prostokąta można ułożyć \(\displaystyle{ 6+1-k}\), a w całym kwadracie \(\displaystyle{ (6+1-k)^2}\). Stąd ilość możliwych kwadratów:
\(\displaystyle{ sum_{k=1}^{6}(6+1-k)^2}\)
c)
Prostokąt jednoznacznie wyznaczają końce przekątnej.
Wybieram dowolny punkt (z 49 możliwych) i drugi, ale nie leżący w tam samym pionie, ani poziomie co pierwszy (dowolny z 36 możliwych). Przy takim wyborze przykładowy prostokąt ABCD wybierałem czterokrotnie (AC,CA,BD,DB) i stąd mianownik.


PS
Gdy wczoraj pisałem te wyniki to w b) przyjąłem podobnie jak w c) że:

boki są równoległe do tych linii

Jednak jak teraz czytam treść zadania to stwierdzam, że takie założenie jest bezzasadne i należy policzyć także kwadraty o bokach nierównoległych do linii kraty.
Każdy 'pochyły' kwadrat jest wpisany w kwadrat o bokach równoległych do linii kraty. Wystarczy zsumować ile kwadratów mieści się w kwadracie o boku (ma jeden wierzchołek w punkcie na boku ) 6, czterech kwadratach o boku 5 , dziewięciu kwadratach o boku 4, ...
\(\displaystyle{ il_{pochylych}=1^2 cdot 5 +2^2 cdot 4+3^2 cdot 3 +4^2 cdot 2+ 5^2 cdot 1}\)
To podejście można zastosować do sumowania wszystkich kwadratów:
\(\displaystyle{ il_{wszystkich}=1^2 cdot 6 +2^2 cdot 5+3^2 cdot 4 +4^2 cdot 3+ 5^2 cdot 2+6^2 cdot 1}\)