Rozwiąż równanie rekurencyjne

[studciak123]

Rozwiąż równanie rekurencyjne \(\displaystyle{ a_{n} +5 a_{n-1} +6 a_{n-2} =3 n^{2}}\).

Próbuje to zrobic tak, że rozpiosuje sobie Stowarzyszoną rekurencję jednorodną:

\(\displaystyle{ j_{n} =-5j _{n-1} -6j _{n-2}}\)

Ukłądam równanie charakterystyczne wychdzą mi dwa rozwiązania \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ -1}\)
Dalej układam rozwiązanie szczogólne rekurencjhi niejednorodnej:
\(\displaystyle{ s_{n}=(w_{0} + w_{1}n + w_{2} n^{2}) \cdot 1^{n}}\)
Jednak podstawiając to popd równanie z treśći nie wychodzi mi nic sensownego co robię źle?

[Premislav]

\(\displaystyle{ x^2+5x+6=(x+2)(x+3)}\), więc coś źle Ci wyszło z równaniem charakterystycznym, rozwiązania to \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ -3}\), więc rozwiązanie ogólne rekurencji jednorodnej jest postaci \(\displaystyle{ A\cdot (-2)^n+B\cdot(-3)^n}\), gdzie \(\displaystyle{ A, B}\) - stałe.
Nie wiem, czy coś jeszcze robisz źle, bo nie pokazałeś obliczeń, kładąc \(\displaystyle{ s_n=w_0+w_1 n+w_2 n^2}\) i wstawiając do zależności rekurencyjnej z zadania, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 12w_0+w_1(n+5(n-1)+6(n-2))+w_2((n^2+5(n-1)^2+6(n-2)^2)=3n^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ 12w_2 n^2+(12w_1-34w_2)n+(12w_0-17w_1+29w_2)=3n^2}\)
więc z porównania współczynników otrzymujesz układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 12w_2=3 \\ 12w_1-34w_2=0\\12w_0-17w_1+29w_2=0 \end{cases}}\)
Przelicz to sobie, nie jest to trudne (np. metodą podstawiania, wyliczasz z pierwszego \(\displaystyle{ w_2=\frac{1}{4}}\), podstawiasz do drugiego i trzeciego etc.).

Jak już znajdziesz współczynniki \(\displaystyle{ s_n}\) - rozw. szczególnego rekurencji niejednorodnej, to rozwiązanie ogólne jest sumą rozwiązania szczególnego rekurencji niejednorodnej i ogólnego jednorodnej, żeby wyliczyć zaś współczynniki \(\displaystyle{ A, B}\), potrzebujesz np. dwóch pierwszych wyrazów (jak nie masz, to to już jest koniec).

[studciak123]

równanie charakterystyczne robiłęm dla:
\(\displaystyle{ j_{n} = -5j_{n-1} -6 j_{n-2}}\)
Układ 3 równań miałem taki sam wyszło mi:
\(\displaystyle{ w _{0} = \frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ w _{1} = \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ w _{1} = \frac{1}{4}}\)

Czyli o ile dobrze rozumiem teraz daję ten wielomian cop mi wyszedł + (i tu nwm rozumiem ze te rownanie podane przez ciebie jest prawidlowe) i porownuje z dwoma pierwszymi wyrazami i znajduje interesujace mnie A i B?-- 19 lis 2017, o 22:08 --Ok teraz widzę, że źle te równanie zrobiłęm nie zmieniłem znaku jak przenosiłem sorki dzięki za pomoc