podzial koła

[klimat]

W koło wpisano \(\displaystyle{ n}\)−kąt tak, że żadne trzy jego przekątne nie przecinają się w jednym punkcie
wewnątrz koła. Pokaż, że przekątne i boki \(\displaystyle{ n}\)−kąta dzielą koło na
\(\displaystyle{ { n \choose 4 } + {n \choose 2 } +1}\)
obszarów.

[arek1357]

Może prościej: na ile obszarów podzielić można maxymalnie koło rysując jego cięciwy, tak aby żadne trzy cięciwy się nie przecięły w jednym punkcie tak łatwiej rozumować.
Dla n=1 będzie to 1 obszar , n=2 dwa obszary, n=3 4 obszary, n=48 obszarów, itd...

n- ilość punktów na okręgu...

Zauważmy spostrzeżenie:

Jeśli dorysowanie nowej cięciwy zwiększa liczbę wszystkich punktów przecięcia cięciw
o s, to liczba obszarów rośnie o \(\displaystyle{ s + 1}\).

Czyli że po narysowaniu wszystkich odcinków liczba obszarów równa jest
\(\displaystyle{ 1 + r + p}\), gdzie r oznacza liczbę odcinków, natomiast p — łączną liczbę ich punktów przecięcia cięciw.

można łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ r= {n \choose 2}}\) są to wszystkie cięciwy czyli przekątne i boki razem.

Zauważmy też najważniejszą rzecz, że każdy punkt przecięcia jest wyznaczony jednoznacznie przez końce tychże cięciw czyli dokładnie 4.

Więc nastąpi tu wybór czterech spośród n punktów, czyli:


\(\displaystyle{ p= {n \choose 4}}\)

reasumując otrzymamy:

wzór na sumę obszarów przy najlepszym ułożeniu cięciw czyłi żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie!:


\(\displaystyle{ Ob_{szary}= {n \choose 4} + {n \choose 2} +1}\)

ładne zadanko...

A teraz zastanowić się ile może wynosić minimalna liczba obszarów ja optuję w kierunku wielokątów foremnych...