I zadałem sobie pytanie czy zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) na którym wykonuje się przekształcenie siebie w samego może być nieskończony czyli np. \(\displaystyle{ \mathbb{X}=\mathbb{N}}\)?
Jeżeli tak to jak by wyglądała miara probabilistyczna na tych zbiorach?
Pozdrawiam.
W twierdzeniu o powracaniu Henri Poincare istotne jest, aby na zbiorze o który Pan pyta, istniała miara \(\displaystyle{ \mu>0}\), a sam zbiór był otwarto-spójnym podzbiorem przestrzeni \(\displaystyle{ \textbf R^{n}}\)
Na zbiorach (borelowskich) przestrzeni \(\displaystyle{ \textbf R^{n}}\) można określić \(\displaystyle{ n-}\) wymiarową miarę Lebesque'a.
Pytam bo jestem ciekawy czy jeżeli weźmie się zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) i operacje \(\displaystyle{ x^{2}+1}\) i będzie się ją iterowało do czy wg. twierdzenia Poincare'go wyjdzie, że nieskończenie wiele razy orbita tej iteracji przechodzi przez zbiór liczb pierwszych?
