Mam problem z dwoma zadaniami. Proszę o pomoc.
1. Z urny, zawierającej \(\displaystyle{ 35}\) kul ponumerowanych liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 35}\), losujemy \(\displaystyle{ 9}\) razy po jednej kuli ze zwracaniem. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że żadna z kul się nie powtórzyła lub otrzymano co najmniej raz kulę z numerem \(\displaystyle{ 1}\).
2. Rzucono \(\displaystyle{ 35}\) razy prawidłową kostką o \(\displaystyle{ 9}\) ścianach, ponumerowanych liczbami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 9}\). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, ze otrzymano co najmniej jedną jedynkę, co najmniej jedną dwójkę i co najmniej jedną trójkę.
Urny i kostka
-
jan2362
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 10 paź 2017, o 19:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wołomin
- Podziękował: 1 raz
Urny i kostka
Ostatnio zmieniony 10 paź 2017, o 22:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Urny i kostka
2. Zdarzenie przeciwne oznaczałoby, że w \(\displaystyle{ 35}\) rzutach nie wypadła żadna jedynka, żadna dwójka ani żadna trójka. W pojedynczym rzucie prawdopodobieństwo niewypadnięcia żadnej z powyższych wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{9}=\frac 2 3}\), więc prawdopodobieństwo, że będzie tak w \(\displaystyle{ 35}\)rzutach wyniesie \(\displaystyle{ \left(\frac 2 3\right)^{35}}\), a więc odpowiedź do zadania to
\(\displaystyle{ 1-\left(\frac 2 3\right)^{35}}\).
Urn nie lubię, kojarzą mi się z kremacją zwłok.
\(\displaystyle{ 1-\left(\frac 2 3\right)^{35}}\).
Urn nie lubię, kojarzą mi się z kremacją zwłok.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Urny i kostka
a)
Doświadczenie losowe polega na dziewięciokrotnym losowaniu ze zwracaniem kuli z urny zawierającej \(\displaystyle{ 35}\) kul ponumerowanych numerami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 35}\).
Jest to doświadczenie złożone, składające się z dziewięciu etapów:
\(\displaystyle{ E_{1}\times E_{2}\times, ...,\times E_{9}.}\)
\(\displaystyle{ E_{i} -}\) etap o numerze \(\displaystyle{ i, \ \ i =1, 2, ...,9}\):
\(\displaystyle{ \left( \Omega_{i}, 2^{\Omega_{i}}, P_{i} \right)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Omega_{i} = \left\{ \omega =f: \left\langle 1 \right\rangle \rightarrow \left\{ 1,2,...,35 \right\} \right\}}\)
\(\displaystyle{ |\Omega_{i}| = W_{35}^{1} = 35^1 =35.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega_{i}} -}\) klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega_{i},}\) łącznie ze zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym) \(\displaystyle{ \emptyset}\) i zdarzeniem pewnym \(\displaystyle{ \Omega_{i}.}\)
\(\displaystyle{ P_{i} = \frac{1}{|\Omega_{i}|} = \frac{1}{35}.}\)
Model doświadczenia złożonego:
\(\displaystyle{ \left( \Omega, 2^{\Omega}, P \right)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2}\times ...\times \Omega_{9},}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \omega= g: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle \rightarrow \left\{ 1, 2,...,35 \right\} \right\}}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = W_{35}^{9} = 35^9.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega} = 2^{\sum_{i=1}^{9}\Omega_{i}},}\)
\(\displaystyle{ P = \prod_{i=1}^{n}P_{i}.}\)
Zdarzenia:
\(\displaystyle{ A}\) - "żadna z kul nie powtórzy się"
\(\displaystyle{ A = \left\{ \omega = g: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle\rightarrow \left\{ 1,2,..., 35 \right\} , \ \ g \left( 1 \right) \neq g \left( 2 \right) \neq ...\neq g \left( 9 \right) \right\} .}\)
\(\displaystyle{ |A| = V_{35}^{9} = \frac{35!}{ \left( 35- 9 \right) !}= \frac{35!}{26!}= 2,562204\cdot 10^{13} .}\)
\(\displaystyle{ P \left( A \right) = \frac{|A|}{|\Omega|}}\)
\(\displaystyle{ P \left( A \right) = \frac{2,562204\cdot 10^{13}}{35^9} = 0,3250883.}\)
Program R
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie "otrzymano co najmniej raz kulę z numerem \(\displaystyle{ 1}\)."
\(\displaystyle{ B'}\) - zdarzenie " ani razu nie otrzymano kuli z numerem \(\displaystyle{ 1}\)".
\(\displaystyle{ B' = \left\{ \omega= h: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle\rightarrow \left\{ 2,3,...,35 \right\} \right\} .}\)
\(\displaystyle{ |B'| = W_{34}^{9} = 34^{9}}\)
\(\displaystyle{ P \left( B' \right) = \frac{|B'|}{|\Omega|} = \frac{34^{9}}{35^{9}}=\left \left( \frac{34}{35}\right)^9 =0.7703673.}\)
Program R
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
\(\displaystyle{ P \left( B' \right) = 1 - P \left( B \right)}\)
\(\displaystyle{ P \left( B \right) = 1 - P \left( B' \right) = 1 - 0,7703673= 0.22963.}\)
\(\displaystyle{ C}\) -zdarzenie " żadna z kul się nie powtórzyła lub otrzymano co najmniej raz kulę z numerem 1".
\(\displaystyle{ P \left( C \right) = P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) .}\)
\(\displaystyle{ P \left( C \right) = 0,325083 + 0,22963 = 0.55471}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku.
W wyniku realizacji doświadczenia losowego należy spodziewać się, że w ponad \(\displaystyle{ 55\%}\) ogólnej liczby wyników, żadna z wylosowanych kul nie powtórzy się lub otrzymamy co najmniej raz kulę z numerem \(\displaystyle{ 1}\).
Doświadczenie losowe polega na dziewięciokrotnym losowaniu ze zwracaniem kuli z urny zawierającej \(\displaystyle{ 35}\) kul ponumerowanych numerami od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 35}\).
Jest to doświadczenie złożone, składające się z dziewięciu etapów:
\(\displaystyle{ E_{1}\times E_{2}\times, ...,\times E_{9}.}\)
\(\displaystyle{ E_{i} -}\) etap o numerze \(\displaystyle{ i, \ \ i =1, 2, ...,9}\):
\(\displaystyle{ \left( \Omega_{i}, 2^{\Omega_{i}}, P_{i} \right)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Omega_{i} = \left\{ \omega =f: \left\langle 1 \right\rangle \rightarrow \left\{ 1,2,...,35 \right\} \right\}}\)
\(\displaystyle{ |\Omega_{i}| = W_{35}^{1} = 35^1 =35.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega_{i}} -}\) klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega_{i},}\) łącznie ze zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym) \(\displaystyle{ \emptyset}\) i zdarzeniem pewnym \(\displaystyle{ \Omega_{i}.}\)
\(\displaystyle{ P_{i} = \frac{1}{|\Omega_{i}|} = \frac{1}{35}.}\)
Model doświadczenia złożonego:
\(\displaystyle{ \left( \Omega, 2^{\Omega}, P \right)}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1}\times \Omega_{2}\times ...\times \Omega_{9},}\)
\(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \omega= g: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle \rightarrow \left\{ 1, 2,...,35 \right\} \right\}}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = W_{35}^{9} = 35^9.}\)
\(\displaystyle{ 2^{\Omega} = 2^{\sum_{i=1}^{9}\Omega_{i}},}\)
\(\displaystyle{ P = \prod_{i=1}^{n}P_{i}.}\)
Zdarzenia:
\(\displaystyle{ A}\) - "żadna z kul nie powtórzy się"
\(\displaystyle{ A = \left\{ \omega = g: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle\rightarrow \left\{ 1,2,..., 35 \right\} , \ \ g \left( 1 \right) \neq g \left( 2 \right) \neq ...\neq g \left( 9 \right) \right\} .}\)
\(\displaystyle{ |A| = V_{35}^{9} = \frac{35!}{ \left( 35- 9 \right) !}= \frac{35!}{26!}= 2,562204\cdot 10^{13} .}\)
\(\displaystyle{ P \left( A \right) = \frac{|A|}{|\Omega|}}\)
\(\displaystyle{ P \left( A \right) = \frac{2,562204\cdot 10^{13}}{35^9} = 0,3250883.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> factorial(35)/factorial(26)
[1]2.56220404e+13
> PA = 2.562204e+13/35^9
> PA
[1] 0.3250883
\(\displaystyle{ B'}\) - zdarzenie " ani razu nie otrzymano kuli z numerem \(\displaystyle{ 1}\)".
\(\displaystyle{ B' = \left\{ \omega= h: \left\langle 1,2,...,9 \right\rangle\rightarrow \left\{ 2,3,...,35 \right\} \right\} .}\)
\(\displaystyle{ |B'| = W_{34}^{9} = 34^{9}}\)
\(\displaystyle{ P \left( B' \right) = \frac{|B'|}{|\Omega|} = \frac{34^{9}}{35^{9}}=\left \left( \frac{34}{35}\right)^9 =0.7703673.}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
>PB1= (34/35)^9
>PB1
[1] 0.7703673
\(\displaystyle{ P \left( B' \right) = 1 - P \left( B \right)}\)
\(\displaystyle{ P \left( B \right) = 1 - P \left( B' \right) = 1 - 0,7703673= 0.22963.}\)
\(\displaystyle{ C}\) -zdarzenie " żadna z kul się nie powtórzyła lub otrzymano co najmniej raz kulę z numerem 1".
\(\displaystyle{ P \left( C \right) = P \left( A \cup B \right) = P \left( A \right) + P \left( B \right) .}\)
\(\displaystyle{ P \left( C \right) = 0,325083 + 0,22963 = 0.55471}\)
Interpretacja otrzymanego wyniku.
W wyniku realizacji doświadczenia losowego należy spodziewać się, że w ponad \(\displaystyle{ 55\%}\) ogólnej liczby wyników, żadna z wylosowanych kul nie powtórzy się lub otrzymamy co najmniej raz kulę z numerem \(\displaystyle{ 1}\).
Ostatnio zmieniony 11 paź 2017, o 20:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle.